Molekularni graf. Molekulski grafovi i tipovi molekularnih struktura Strukturni oblik i grafovi molekula
Za izradu automatiziranih programskih kompleksa. sinteza optimalna. visoko pouzdana proizvodnja (uključujući uštedu resursa) zajedno s načelima umjetnosti. inteligencije, koriste orijentirane semantičke, ili semantičke, grafove opcija CTS rješenja. Ovi grafikoni, koji su u konkretnom slučaju stabla, prikazuju postupke za generiranje skupa racionalnih alternativnih CTS shema (na primjer, 14 mogućih pri odvajanju peterokomponentne smjese ciljnih proizvoda rektifikacijom) i postupke za uređen odabir između njih shema koja je optimalna prema određenom kriteriju učinkovitosti sustava (vidi Optimizacija).
Teorija grafova također se koristi za razvoj algoritama za optimizaciju vremenskih rasporeda za rad fleksibilne opreme za više proizvoda, optimizacijskih algoritama. postavljanje opreme i trasiranje cjevovodnih sustava, optimalni algoritmi. upravljanje kemijskom tehnologijom procesa i proizvodnje, tijekom mrežnog planiranja svog rada itd.
Lit.. Zykov A. A., Teorija konačnih grafova, [in. 1], Novosibirsk, 1969.; Yatsimirsky K. B., Primjena teorije grafova u kemiji, Kijev, 1973.; Kafarov V.V., Perov V.L., Meshalkin V.P., Principi matematičkog modeliranja kemijskih tehnoloških sustava, M., 1974; Christofides N., Teorija grafova. Algoritamski pristup, trans. s engleskog, M., 1978.; Kafarov V.V., Perov V.L., Meshalkin V.P., Matematičke osnove računalno potpomognutog projektiranja kemijske proizvodnje, M., 1979; Kemijske primjene topologija i teorija grafova, ur. R. King, prev. s engleskog, M., 1987.; Kemijske primjene teorije grafova, Balaban A.T. (Ed.), N.Y.-L., 1976. V.V. Kafarov, V.P.
===
španjolski literatura za članak "TEORIJA GRAFOVA": nema podataka
Stranica "TEORIJA GRAFOVA" pripremljen na temelju materijala
Štoviše, zadnjih 12 godina života Euler je bio teško bolestan, oslijepio je, te je unatoč teškoj bolesti nastavio raditi i stvarati. Statistički izračuni pokazuju da je Euler napravio prosječno jedno otkriće tjedno. Teško je pronaći matematički problem koji nije obrađen u djelima Eulera. Svi matematičari sljedećih generacija učili su kod Eulera na ovaj ili onaj način, a nije bez razloga slavni francuski znanstvenik P.S. Laplace je rekao: “Čitajte Eulera, on je učitelj svih nas.” Lagrange kaže: "Ako stvarno volite matematiku, čitajte Eulera; prezentacija njegovih djela izvanredna je zbog svoje nevjerojatne jasnoće i točnosti." Doista, elegancija njegovih proračuna dovedena je do najvišeg stupnja. Condorcet je svoj govor na Akademiji u spomen na Eulera zaključio riječima: “Dakle, Euler je prestao živjeti i kalkulirati!” Živjeti za izračunavanje - kako izgleda dosadno izvana! Matematičara je uobičajeno zamišljati suhoparnim i gluhim za sve svakodnevno, za ono što zanima obične ljude. Nazvan po Euleru, problem je tri kuće i tri bunara. |
TEORIJA GRAFOVA
Jedna od grana topologije. Graf je geometrijski dijagram koji je sustav linija koje povezuju određene točke. Točke se nazivaju vrhovi, a linije koje ih povezuju nazivaju se bridovi (ili lukovi). Svi problemi teorije grafova mogu se riješiti i u grafičkom i u matričnom obliku. U slučaju pisanja u matričnom obliku, mogućnost prijenosa poruke od danog vrha do drugog označena je s jedinicom, a njezina odsutnost označena je s nulom.
Porijeklo teorije grafova u 18. stoljeću. povezana s matematičkim zagonetkama, ali je posebno snažan poticaj za razvoj dobila u 19. stoljeću. a uglavnom u 20. stoljeću, kada su otkrivene mogućnosti njegove praktične primjene: za proračun radioelektroničkih sklopova, rješavanje tzv. prometni zadaci i sl. Od 50-ih godina. Teorija grafova se sve više koristi u socijalna psihologija i sociologije.
U području teorije grafova treba spomenuti radove F. Harryja, J. Kemenya, K. Flamenta, J. Snella, J. Frencha, R. Normana, O. Oysera, A. Beivelasa, R. Weissa i dr. U SSSR-u, prema radu T. g. M. Borodkin i drugi.
Jezik teorije grafova vrlo je prikladan za analizu raznih vrsta struktura i prijenos stanja. U skladu s tim, možemo razlikovati sljedeće vrste socioloških i socio-psiholoških problema koji se rješavaju pomoću teorije grafova.
1) Formalizacija i konstrukcija općeg strukturnog modela društveni objekt na različitim razinama svoje složenosti. Na primjer, strukturni dijagram organizacije, sociogrami, usporedba sustava srodstva u različitim društvima, analiza strukture uloga grupa itd. Možemo smatrati da struktura uloga uključuje tri komponente: osobe, pozicije (u pojednostavljenoj verziji - pozicije) i zadatke koji se obavljaju na ovoj poziciji. Svaka se komponenta može prikazati kao grafikon:
Moguće je kombinirati sva tri grafikona za sve pozicije ili samo za jednu, te kao rezultat toga dobivamo jasnu predodžbu o specifičnoj strukturi c.l. ovu ulogu. Dakle, za ulogu pozicije P5 imamo graf (Sl.). Upletanje neformalnih odnosa u navedenu formalnu strukturu značajno će zakomplicirati grafikon, ali će biti točnija kopija stvarnosti.
2) Analiza dobivenog modela, identifikacija strukturnih jedinica (podsustava) u njemu i proučavanje njihove povezanosti. Na taj se način, primjerice, mogu razlikovati podsustavi u velikim organizacijama.
3) Proučavanje razina strukture hijerarhijske organizacije: broj razina, broj veza koje idu s jedne razine na drugu i s jedne osobe na drugu. Na temelju toga rješavaju se sljedeći zadaci:
a) količine. procjena težine (statusa) pojedinca u hijerarhijskoj organizaciji. Jedan od moguće opcije određivanje statusa je formula:
gdje je r (p) status određene osobe p, k je vrijednost razine podređenosti, definirana kao najmanji broj koraka od dane osobe do njenog podređenog, nk je broj osoba na danoj razini k . Na primjer, u organizaciji koju predstavlja sljedeće. Računati:
težina a=1·2+2·7+3·4=28; 6=1·3+2·3=9, itd.
b) određivanje voditelja grupe. Vođu obično karakterizira veća povezanost s ostatkom grupe u usporedbi s drugima. Kao iu prethodnom zadatku, i ovdje se mogu koristiti različite metode za identifikaciju vođe.
Najjednostavnija metoda dana je formulom: r=Σdxy/Σdqx, tj. kvocijent dijeljenja zbroja svih udaljenosti svake osobe od svih ostalih sa zbrojem udaljenosti danog pojedinca od svih ostalih.
4) Analiza učinkovitosti djelovanja ovog sustava, koja uključuje i zadatke kao što su traženje optimalne strukture organizacije, povećanje grupne kohezije, analiza društvenog sustava sa stajališta njegove održivosti; proučavanje tokova informacija (prijenos poruka pri rješavanju problema, utjecaj članova grupe jednih na druge u procesu ujedinjenja grupe); uz pomoć tehnologije rješavaju problem pronalaska optimalne komunikacijske mreže.
Kada se primijeni na teoriju grafova, kao i na bilo koji matematički aparat, istina je da su osnovna načela za rješavanje problema dana sadržajnom teorijom (u u ovom slučaju sociologija).
Zadatak : Tri susjeda imaju tri zajednička bunara. Je li moguće izgraditi staze koje se ne sijeku od svake kuće do svakog bunara? Staze ne mogu proći kroz bunare i kuće (slika 1).
Riža. 1. Problemu kuća i bunara.
Za rješavanje ovog problema koristit ćemo se teoremom koji je dokazao Euler 1752. godine, a koji je jedan od glavnih u teoriji grafova. Prvi rad o teoriji grafova pripada Leonhardu Euleru (1736.), iako je pojam "graf" prvi put uveo 1936. mađarski matematičar Dénes König. Grafovima su se nazivali dijagrami koji se sastoje od točaka i segmenata ravnih linija ili krivulja koje povezuju te točke.
Teorema. Ako je poligon podijeljen na konačan broj poligona tako da bilo koja dva poligona particije ili nemaju zajedničkih točaka, ili imaju zajedničke vrhove, ili imaju zajedničke bridove, tada vrijedi jednakost
B - P + G = 1, (*)
gdje je B ukupan broj vrhova, P ukupan broj bridova, G broj poligona (strana).
Dokaz. Dokažimo da se jednakost ne mijenja ako se u neki poligon zadane particije povuče dijagonala (slika 2, a).
A) 
b) 
Doista, nakon crtanja takve dijagonale, nova će particija imati B vrhova, P+1 bridova, a broj poligona će se povećati za jedan. Stoga imamo
B - (P + 1) + (G + 1) = B – P + G.
Koristeći ovo svojstvo, crtamo dijagonale koje dijele ulazne poligone u trokute, a za rezultirajuću particiju pokazujemo izvedivost relacije.
Da bismo to učinili, uzastopno ćemo ukloniti vanjske rubove, smanjujući broj trokuta. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:
da biste uklonili trokut ABC, morate ukloniti dva brida, u našem slučaju AB i BC;
Da biste uklonili trokut MKN, morate ukloniti jedan brid, u našem slučaju MN.
U oba slučaja jednakost se neće promijeniti. Na primjer, u prvom slučaju, nakon uklanjanja trokuta, graf će se sastojati od B-1 vrhova, P-2 bridova i G-1 poligona:
(B - 1) - (P + 2) + (G -1) = B - P + G.
Dakle, uklanjanje jednog trokuta ne mijenja jednakost.
Nastavljajući ovaj proces uklanjanja trokuta, na kraju ćemo doći do particije koja se sastoji od jednog trokuta. Za takvu particiju B = 3, P = 3, G = 1 i, prema tome,
To znači da jednakost vrijedi i za izvornu particiju, iz čega konačno dobivamo da relacija vrijedi i za ovu particiju poligona.
Uočimo da Eulerova relacija ne ovisi o obliku mnogokuta. Poligoni se mogu deformirati, povećati, smanjiti ili čak zakriviti svoje stranice, sve dok na stranicama nema praznina. Eulerova relacija se neće promijeniti.
Prijeđimo sada na rješavanje problema tri kuće i tri bunara.
Riješenje. Pretpostavimo da se to može učiniti. Označimo kućice točkama D1, D2, D3, a bunare točkama K1, K2, K3 (slika 1). Svaku točku kuće povezujemo sa svakom točkom bunara. Dobivamo devet bridova koji se ne sijeku u parovima.
Ovi bridovi tvore poligon na ravnini, podijeljen na manje poligone. Stoga za ovu particiju mora biti zadovoljena Eulerova relacija B - P + G = 1.
Dodajmo licima koja se razmatraju još jedno lice - vanjski dio ravnine u odnosu na poligon. Tada će Eulerova relacija poprimiti oblik B - P + G = 2, s B = 6 i P = 9.
Stoga je G = 5. Svako od pet lica ima najmanje četiri ruba, jer prema uvjetima zadatka nijedan od putova ne bi trebao izravno spajati dvije kuće ili dva bunara. Budući da svaki brid leži na točno dvije strane, broj bridova mora biti najmanje (5 4)/2 = 10, što je u suprotnosti s uvjetom da je njihov broj 9.
Rezultirajuća kontradikcija pokazuje da je odgovor na problem negativan - nemoguće je nacrtati staze koje se ne sijeku od svake kuće do svakog sela
Teorija grafova u kemiji
Primjena teorije grafova na konstrukciju i analizu različitih klasa kemijskih i kemijsko-tehnoloških grafova, koji se nazivaju i topologija, modeli, tj. modeli koji uzimaju u obzir samo prirodu veza između vrhova. Lukovi (rubovi) i vrhovi ovih grafova odražavaju kemijske i kemijsko-tehnološke pojmove, pojave, procese ili objekte te sukladno tome kvalitativne i kvantitativne odnose ili određene odnose među njima.
Teorijski problemi. Kemijski grafovi omogućuju predviđanje kemijskih pretvorbi, objašnjavaju bit i sistematiziraju neke temeljne pojmove kemije: strukturu, konfiguraciju, potvrde, kvantno mehaničke i statističko-mehaničke interakcije molekula, izomeriju itd. Kemijski grafovi uključuju molekularne, bipartitne i signalne grafove. jednadžbi kinetičke reakcije. Molekularni grafovi koji se koriste u stereokemiji i strukturnoj topologiji, kemiji klastera, polimera itd. su neusmjereni grafovi koji prikazuju strukturu molekula. Vrhovi i rubovi ovih grafova odgovaraju odgovarajućim atomima i kemijskim vezama među njima.
U stereokemiji org. c-c najčešće korištena su molekularna stabla - razapeta stabla molekularnih grafova koja sadrže samo sve vrhove koji odgovaraju atomima i utvrđivanje njihovog izomorfizma omogućuje određivanje molekularnih struktura i pronalaženje ukupnog broja izomera alkana, alkeni i alkini. Molekularni grafovi omogućuju smanjenje problema povezanih s kodiranjem, nomenklaturom i strukturnim značajkama (grananje, cikličnost, itd.) molekula različitih spojeva na analizu i usporedbu čisto matematičkih značajki i svojstava molekularnih grafova i njihovih stabala, kao i njihove odgovarajuće matrice. Kako bi se utvrdio broj korelacija između strukture molekula i fizikalno-kemijskih (uključujući farmakološka) svojstva spojeva, razvijeno je više od 20 tzv. Topološki indeksi molekula (Wiener, Balaban, Hosoya, Plata, Randich i dr.), koji se određuju pomoću matrica i numeričkih karakteristika molekularnih stabala. Na primjer, Wienerov indeks W = (m3 + m)/6, gdje je m broj vrhova koji odgovaraju C atomima, korelira s molekulskim volumenima i lomovima, entalpijama stvaranja, viskoznošću, površinskom napetosti, kromatografskim konstantama spojeva, oktanom brojevi ugljikovodika pa čak i fiziol . aktivnost lijekovi. Važni parametri molekularnih grafova koji se koriste za određivanje tautomernih oblika dane tvari i njihovih reaktivnost, kao i u klasifikaciji aminokiselina, nukleinskih kiselina, ugljikohidrata i drugih složenih prirodni spojevi, su prosječni i puni (N) informacijski kapaciteti. Analiza molekularnih grafova polimera, čiji vrhovi odgovaraju monomernim jedinicama, a rubovi odgovaraju kemijskim vezama između njih, omogućuje objašnjenje, primjerice, učinaka isključenog volumena koji dovode do kvaliteta. promjene u predviđenim svojstvima polimera. Korištenje teorije i principa grafova umjetna inteligencija razvijena softver sustavi za pronalaženje informacija u kemiji, kao i automatizirani sustavi za identifikaciju molekulskih struktura i racionalno planiranje organske sinteze. Za praktičnu primjenu na računalu operacija za odabir racionalnih kemijskih putova. transformacije temeljene na retrosintetskim i sintonskim načelima koriste višerazinske razgranate grafove pretraživanja za opcije rješenja, čiji vrhovi odgovaraju molekulskim grafovima reagensa i produkata, a lukovi prikazuju transformacije.
Za rješavanje višedimenzionalnih problema analize i optimizacije kemijsko-tehnoloških sustava (CTS) koriste se sljedeći kemijsko-tehnološki grafovi: protoka, protoka informacija, signala i pouzdanosti. Za studij kemije. Fizika poremećaja u sustavima koji se sastoje od velikog broja čestica koristi tzv. Feynmanovi dijagrami su grafovi čiji vrhovi odgovaraju elementarnim interakcijama fizičkih čestica, rubovima njihovih staza nakon sudara. Konkretno, ovi grafikoni omogućuju proučavanje mehanizama oscilatornih reakcija i određivanje stabilnosti reakcijskih sustava. Grafikoni protoka materijala prikazuju promjene troškovi u-u u CTS-u grafikoni toka prikazuju toplinske bilance u CTS-u; vrhovi grafova odgovaraju uređajima u kojima se mijenja potrošnja topline fizičkih tokova, a osim toga, izvorima i ponorima toplinske energije sustava; lukovi odgovaraju fizičkim i fiktivnim (fizikalno-kemijska pretvorba energije u uređajima) toplinskim tokovima, a težine lukova jednake su entalpijama tokova. Materijalni i toplinski grafovi koriste se za sastavljanje programa za automatizirani razvoj algoritama za rješavanje sustava jednadžbi za materijalnu i toplinsku bilancu složenih kemijskih sustava. Grafovi protoka informacija prikazuju logičku informacijsku strukturu sustava matematičkih jednadžbi. XTS modeli; koriste se za razvoj optimalnih algoritama za proračun tih sustava. Bipartitni informacijski graf je neusmjereni ili usmjereni graf čiji se vrhovi međusobno podudaraju. jednadžbe fl -f6 i varijable q1 – V, a grane odražavaju njihov odnos. Informacijski graf – digraf koji prikazuje redoslijed rješavanja jednadžbi; vrhovi grafa odgovaraju ovim jednadžbama, izvorima i primateljima XTS informacija, a grane odgovaraju informacijama. varijable. Signalni grafovi odgovaraju linearnim sustavima jednadžbi matematičkih modela kemijsko-tehnoloških procesa i sustava. Grafikoni pouzdanosti koriste se za izračunavanje različitih pokazatelja pouzdanosti X.
Reference :
1.Berge K., T. g. i njegova primjena, prijevod s francuskog, M., 1962.;
2. Kemeny J., Snell J., Thompson J., Uvod u konačnu matematiku, trans. s engleskog, 2. izd., M., 1963.;
3.Ope O., Grafovi i njihova primjena, trans. s engleskog, M., 1965.;
4. Belykh O.V., Belyaev E.V., Mogućnosti primjene sociologije u sociologiji, u: Čovjek i društvo, sv. 1, [L.], 1966.;
5. Kvantitativne metode u sociološkom istraživanju, M., 1966; Belyaev E.V., Problemi socioloških mjerenja, "VF", 1967, br. 7; Bavelas. Komunikacijski obrasci u grupama usmjerenim na zadatak, u knjizi. Lerner D., Lass well H., Političke znanosti, Stanford, 1951.;
6. Kemeny J. G., Snell J., Matematički modeli u društvenim znanostima, N. Y., 1962.; Filament C., Primjene teorije grafova na strukturu grupa, N. Y., 1963.; Oeser Ο. A., Hararu F., Strukture uloga i opis u terminima teorije grafova, u knjizi: Biddle V., Thomas E. J., Teorija uloga: koncepti i istraživanje, N. Y., 1966. E. Belyaev. Lenjingrad.
Molekularni grafovi i vrste molekulskih struktura
iz "Primjena teorije grafova u kemiji"
Kemija je jedno od onih područja znanosti koje je teško formalizirati. Stoga je neformalna uporaba matematičkih metoda u kemijskim istraživanjima uglavnom povezana s onim područjima u kojima je moguće konstruirati smislene matematičke modele kemijskih pojava.Drugi način ironičnog ulaska grafova u teorijsku kemiju povezan je s kvantno kemijskim metodama izračuna elektronička struktura molekule.
Glavni odjeljak raspravlja o metodama za analizu molekularnih struktura u smislu grafova, koji se zatim koriste za konstruiranje topoloških indeksa i na temelju korelacija strukture i svojstava, a također ocrtava elemente molekularnog dizajna.
Kao što znate, tvar može biti u krutom, tekućem ili plinovitom stanju. Stabilnost svake od ovih faza određena je uvjetom minimalne slobodne energije i ovisi o temperaturi i tlaku. Svaka se tvar sastoji od atoma ili iona, koji pod određenim uvjetima mogu tvoriti stabilne podsustave. Elementarni sastav i relativni raspored atoma (kratki poredak) u takvom podsustavu zadržavaju se dosta dugo, iako se njegov oblik i veličina mogu mijenjati. Smanjenjem temperature ili porastom tlaka smanjuje se pokretljivost ovih podsustava, ali gibanje jezgri (oscilacije nulte točke) ne prestaje na temperaturi apsolutne nule. Takve stabilne koherentne formacije, koje se sastoje od malog broja molekula, mogu postojati u tekućini, u krevetu ili u krutom tijelu i nazivaju se molekularni sustavi.
MG u perspektivnoj projekciji odražava glavne značajke geometrije molekule i daje vizualni prikaz njezine strukture. Raspravljajmo o nekim vrstama molekularnih struktura u terminima MG. Razmotrimo molekule za koje je prikladno koristiti planarne grafove za opisivanje njihove strukture. Najjednostavniji sustavi ove vrste odgovaraju MG-ima poput stabla.
U slučaju molekula niza etilena, MG sadrže samo vrhove stupnja tri (ugljik) i stupnja jedan (vodik). Opća formula za takve spojeve je CH,g+2. Molekule CH+2 u osnovnom stanju obično su ravne. Svaki atom ugljika karakterizira trigonsko okruženje. U ovom slučaju moguće je postojanje cis- i trans-tipa izomera. U slučaju tg 1, struktura izomera može biti prilično složena.
Razmotrimo sada neke molekularne sustave koji sadrže cikličke fragmente. Kao i u slučaju parafinskih ugljikovodika, postoje molekule čije se strukture mogu opisati u terminima grafova koji imaju samo vrhove stupnja četiri i jedan. Najjednostavniji primjer takvog sustava je cikloheksan (vidi sl. 1.3,6. Tipično, struktura cikloheksana je opisana kao MG u perspektivi, dok su izostavljeni vrhovi stupnja jedan). Za cikloheksape je moguće postojanje tri rotirajuća izomera (slika 1.7).
Proučavanje veze između svojstava tvari i njihove strukture jedan je od glavnih zadataka kemije. Strukturna teorija dala je veliki doprinos njegovom rješavanju organski spojevi, čiji tvorci uključuju velikog ruskog kemičara Aleksandra Mihajloviča Butlerova (1828.-1886.). On je prvi ustanovio da svojstva tvari ne ovise samo o njezinom sastavu (molekulskoj formuli), već i o redoslijedu kojim su atomi u molekuli međusobno povezani. Ovaj poredak je nazvan "kemijska struktura". Butlerov je predvidio tu kompoziciju C 4 H 10 može odgovarati dvjema tvarima koje imaju različite strukture - butanu i izobutanu, i to je potvrdio sintetizirajući potonju tvar.
Ideja da je redoslijed povezivanja atoma ključan za svojstva materije pokazala se vrlo plodnom. Temelji se na predstavljanju molekula pomoću grafova u kojima atomi imaju ulogu vrhova, a kemijske veze između njih postoje bridovi koji povezuju vrhove. U grafičkom prikazu zanemaruju se duljine veza i kutovi između njih. Gore opisane C molekule 4 H 10 predstavljeni su sljedećim grafikonima:
Atomi vodika nisu naznačeni u takvim grafikonima, budući da se njihov položaj može nedvosmisleno odrediti strukturom ugljikovog kostura. Podsjetimo se da je ugljik u organskim spojevima četverovalentan, pa se u odgovarajućim grafovima iz svakog vrha ne mogu protezati više od četiri brida.
Grafikoni su matematički objekti, pa se mogu karakterizirati pomoću brojeva. Odatle je nastala ideja da se struktura molekula izrazi brojevima koji su povezani sa strukturom molekularnih grafova. Ti se brojevi u kemiji nazivaju "topološki indeksi". Izračunavanjem bilo kojeg topološkog indeksa za veliki broj molekula, moguće je uspostaviti vezu između njegovih vrijednosti i svojstava tvari, a zatim koristiti tu vezu za predviđanje svojstava novih, još nesintetiziranih tvari. Do danas su kemičari i matematičari predložili stotine različitih pokazatelja koji karakteriziraju određena svojstva molekula.
Metode izračuna topoloških indeksa
Metode za izračunavanje topoloških indeksa mogu biti vrlo različite, ali sve one moraju zadovoljiti sasvim prirodne zahtjeve:
1) svaka molekula ima svoj individualni indeks;
2) molekule sličnih svojstava imaju slične indekse.
Pogledajmo kako se ova ideja provodi na primjeru zasićenih ugljikovodika - alkana. Ključni koncept za konstruiranje mnogih indeksa je koncept “matrice udaljenosti” D. Ovo je naziv matrice čiji elementi pokazuju broj bridova koji odvajaju odgovarajuće vrhove molekularnog grafa. Konstruirajmo ovu matricu za tri izomerna ugljikovodika sastava C 5 H 12 . Da bismo to učinili, nacrtajmo njihove molekularne grafove i ponovno numerirajmo vrhove (nasumičnim redoslijedom):
Dijagonalni elementi matrice udaljenosti za ugljikovodike jednaki su 0. U prvom grafu vrh 1 je jednim bridom povezan s vrhom 2, pa je element matrice d 12 = 1. Slično, d 13 = 2, d 14 = 3, d 15 = 4. Prvi red u matrici udaljenosti normalnog pentana ima oblik: (0 1 2 3 4). Dovršite matrice udaljenosti za tri grafikona:
molekulska kemija topološki indeks
Udaljenost između vrhova ne ovisi o redoslijedu kojim su navedeni, pa su matrice udaljenosti simetrične u odnosu na dijagonalu.
Wiener je 1947. predložio prvi topološki indeks koji odražava strukturu molekularnog grafa (G). Definira se kao zbroj dijagonalnih elemenata matrice udaljenosti plus polovica zbroja njezinih nedijagonalnih elemenata:
(1)
Za gornje grafove koji odgovaraju pentanima C 5 H 12 , Wienerov indeks ima vrijednosti 20, 18 i 16. Može se pretpostaviti da on opisuje stupanj razgranatog ugljikovodika: najviše vrijednosti odgovaraju najmanje razgranatim ugljikovodicima. Kako se duljina ugljikovog kostura povećava, Wienerov indeks se povećava, jer ima više elemenata u matrici udaljenosti. Statistička analiza na primjeru nekoliko stotina ugljikovodika pokazala je da Wienerov indeks korelira s nekim fizikalnim svojstvima alkana: vrelištem, toplinom isparavanja, molarnim volumenom.
Drugi tip indeksa ne temelji se na udaljenostima između vrhova, već na broju najbližih susjeda za svaki vrh. Kao primjer, izračunajmo Randićev indeks koji je definiran na sljedeći način:
(2)
gdje je vja– stupanj i-tog vrha, odnosno broj bridova koji izlaze iz njega. Za gornje grafove, Randićev indeks je jednak:
(3)
(4)
(5)
Ovaj se indeks također smanjuje s povećanjem stupnja grananja ugljikovog skeleta i može se koristiti za opisivanje fizička svojstva alkani.
Alkani su najdosadnija vrsta organskih molekula s kemijskog gledišta, budući da ne sadrže nikakve "osobine" - dvostruke i trostruke veze ili atome elemenata osim vodika i ugljika (takvi elementi nazivaju se heteroatomi). Uvođenje heteroatoma u molekulu može radikalno promijeniti svojstva tvari. Dakle, dodavanje samo jednog atoma kisika pretvara prilično inertni plinoviti etan C 2 H 6 u tekući etanol C 2 H 5 OH, pokazujući prilično visoku kemijsku i biološku aktivnost.
Posljedično, u topološkim indeksima molekula složenijih od alkana, potrebno je uzeti u obzir prisutnost višestrukih veza i heteroatoma. To se postiže dodjeljivanjem određenih numeričkih koeficijenata - "težina" - vrhovima i rubovima grafova. Na primjer, u matrici udaljenosti, dijagonalni elementi mogu se definirati u smislu nuklearnog naboja Zja(zapamtite da je za ugljik Z = 6):
(6)
Nedijagonalni elementi određuju se zbrajanjem preko rubova, pri čemu svaki rub povezuje atome s nabojem Zjai Zj, dodijeljena je težina
(7)
gdje je b jednak redu veza između atoma (1 za jednostruku vezu, 2 za dvostruku vezu, 3 za trostruku vezu). Za obične jednostruke veze ugljik-ugljik k = 1. Usporedimo Wienerove indekse propana C 3 H 8 i tri tvari slične po sastavu koje sadrže kisik: propilni alkohol C 3 H 8 O, njegov izomerni izopropil alkohol C 3 H 8 O i aceton C 3 H 6 O.
Da bismo to učinili, izračunavamo matricu udaljenosti prema navedenim pravilima. U molekulskim grafovima označavamo sve atome osim atoma vodika.1) Propan
2) U molekuli propilnog alkohola, kisik je vezan na krajnji vanjski atom ugljika:
Za jednostruku C–O vezu, težinski koeficijent je 36/(68) = 0,75. Dijagonalni matrični element koji odgovara kisiku:
d 44 = 1 – 6/8 = 0.25.
Za molekule koje sadrže heteroatome, Wienerov indeks prestaje biti cijeli broj. 3) U molekuli izopropilnog alkohola, kisik je vezan na srednji atom ugljika:
4) U acetonu je redoslijed povezivanja atoma isti kao u izopropilnom alkoholu, ali je veza između ugljika i kisika dvostruka:
Za dvostruku vezu C=O faktor težine je 36/(268) = 0,375
Kao što se može vidjeti, dodavanje heteroatoma u strukturu alkana dovodi do povećanja Wienerova indeksa zbog povećanja veličine matrice udaljenosti. Dodavanje višestrukih veza i povećanje stupnja grananja molekule smanjuje ovaj indeks. Ova pravila vrijede i za složenije molekule. U početku su topološki indeksi razvijeni samo u svrhu predviđanja fizikalno-kemijskih svojstava tvari. Međutim, kasnije su se počeli koristiti za rješavanje drugih problema. Pogledajmo neke od njih. Jedna od primjena topoloških indeksa povezana je s klasifikacijom organskih spojeva i stvaranjem organskih baza podataka. Zadatak je pronaći indeks koji jedan na jedan karakterizira kemijsku strukturu i iz kojeg se ta struktura može rekonstruirati. Traženi indeks mora imati dobru diskriminatornu sposobnost, odnosno mora razlikovati čak i molekule slične strukture. Taj je zadatak golem jer je već poznato više od 20 milijuna organskih struktura. Njegovo će se rješenje po svemu sudeći pronaći korištenjem kompozitnih topoloških indeksa.
1. Grafički prikaz molekula i njihovih svojstava - teorija grafova u kemiji
Proučavanje veze između svojstava tvari i njihove strukture jedan je od glavnih zadataka kemije. Velik doprinos njezinom rješenju dala je strukturna teorija organskih spojeva, čiji je tvorac veliki ruski kemičar Aleksandar Mihajlovič Butlerov (1828.-1886.). On je prvi ustanovio da svojstva tvari ne ovise samo o njezinom sastavu (molekulskoj formuli), već i o redoslijedu kojim su atomi u molekuli međusobno povezani. Ovaj poredak je nazvan "kemijska struktura". Butlerov je predvidio da bi sastav C 4 H 10 mogao odgovarati dvjema tvarima različite strukture - butanu i izobutanu, i to potvrdio sintetizirajući potonju tvar.
Ideja da je redoslijed povezivanja atoma ključan za svojstva materije pokazala se vrlo plodnom. Temelji se na predstavljanju molekula pomoću grafova, u kojima atomi imaju ulogu vrhova, a kemijske veze između njih - bridova koji spajaju vrhove. U grafičkom prikazu zanemaruju se duljine veza i kutovi između njih. Gore opisane molekule C4H10 predstavljene su sljedećim grafikonima:
Atomi vodika nisu naznačeni u takvim grafikonima, budući da se njihov položaj može nedvosmisleno odrediti strukturom ugljikovog kostura. Podsjetimo se da je ugljik u organskim spojevima četverovalentan, pa se u odgovarajućim grafovima iz svakog vrha ne mogu protezati više od četiri brida.
Grafikoni su matematički objekti, pa se mogu karakterizirati pomoću brojeva. Odatle je nastala ideja da se struktura molekula izrazi brojevima koji su povezani sa strukturom molekularnih grafova. Ti se brojevi u kemiji nazivaju "topološki indeksi". Izračunavanjem bilo kojeg topološkog indeksa za veliki broj molekula, moguće je uspostaviti vezu između njegovih vrijednosti i svojstava tvari, a zatim koristiti tu vezu za predviđanje svojstava novih, još nesintetiziranih tvari. Do danas su kemičari i matematičari predložili stotine različitih pokazatelja koji karakteriziraju određena svojstva molekula.
Infracrveni spektri molekula
Za razliku od vidljivog i ultraljubičastog područja, koji su uglavnom uzrokovani prijelazima elektrona iz jednog stacionarnog stanja u drugo...
Proučavanje strukture organskih spojeva fizikalnim metodama
Svi mogući položaji molekula u trodimenzionalnom prostoru svode se na translatorno, rotacijsko i vibracijsko gibanje. Molekula koja se sastoji od N atoma ima samo 3N stupnjeva slobode kretanja...
Kvantnokemijsko istraživanje fotofizičkih svojstava polianilina
Kvantnokemijski proračuni geometrije i distribucije gustoće elektrona za pobuđena stanja, izvedeni bilo kojom metodom, su od interesa, jer se ovdje čak i polukvantitativni rezultati pokazuju vrlo korisnima...
Makromolekule linearnih amorfnih polimera
Molekula je najbliža čestica govora koja sadrži glavne kemijske sile i sastoji se od atoma koji su međusobno povezani kemijskim vezama. Molekule se mogu razlikovati jedna od druge po prirodi ili po broju atoma...
2.1 Opis mjerenja, kompilacija njegovog modela i identifikacija izvora nesigurnosti Bilo koji mjerni proces može se predstaviti kao niz operacija koje se izvode...
Metodologija izračuna nesigurnosti mjerenja sadržaja olova u bombonama, žitaricama, žitaricama i proizvodima njihove prerade (kruh i pekarski proizvodi) stripping voltametrijom pomoću analizatora tipa TA
Ako je mjera nesigurnosti ukupna standardna nesigurnost, tada se rezultat može napisati na sljedeći način: y(jedinice) sa standardnom nesigurnošću uc(y) (jedinice). Ako je mjera nesigurnosti proširena nesigurnost U...
Razvoj periodičkog zakona. Ovisnost svojstava elementa o jezgri njegovog atoma
Određivanje rednih brojeva elemenata na temelju naboja jezgri njihovih atoma omogućilo je utvrđivanje ukupnog broja mjesta u periodnom sustavu između vodika (koji u tablici ima redni broj - 1) i urana (koji ima serijski broj 92)...
