Анализ динамических систем с аналитической правой частью. Анализ динамических свойств системы

Автоматика и телемеханика, Л- 1, 2007

РАС Б 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 г. Ю.С. ПОПКОВ, д-р техн. наук (Институт системного анализа РАН, Москва)

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С Вд-ЭНТРОПИЙНЫМ ОПЕРАТОРОМ

Предлагается метод исследования существования, единственности и локализации сингулярных точек рассматриваемого класса ДСЭО. Получены условия устойчивости "в малом" и "в большом". Приводятся примеры применения полученных условий.

1. Введение

Многие проблемы математического моделирования динамических процессов могут быть решены на основе концепции динамических систем с энтропийным оператором (ДСЭО) . ДСЭО представляет собой динамическую систему, в которой нелинейность описывается параметрической задачей максимизации энтропии. Феио-моиологически ДСЭО является моделью макросистемы с "медленным" самовоспроизведением и "быстрым" распределением ресурсов . Некоторые свойства ДСЭО исследовали в . Настоящая работа продолжает цикл исследований качественных свойств ДСЭО.

Рассматривается динамическая система с Вд-энтропийным оператором :

^ = £{х,у{х)), х е Еп:

у(х) = а^шах{Нв (у) | Ту = ц(х), у е Е^} > 0.

В этих выражениях:

С(х,у), ц(х) - непрерывно дифференцируемые вектор-функции;

Энтропия

(1.2) Нв (у) = уз 1п аз > 0, з = Т~т;

Т - (г х ш)-матрица с элементами ^ 0 имеет полный ранг, равный г;

Вектор-функция ц(х) предполагается непрерывно-дифференцируемой, множество ^ ^^ ^таченнй ц - положительный параллелепипед

(1.3) Q = {ц: 0 <оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

где а- и а + - векторы из Е+, прпчем а- - вектор с малыми компонентами.

Воспользовавшись известным представлением энтропийного оператора через множители Лагранжа . преобразуем систему (1.1) к следующему виду:

- = £(х,у(г)), х е Кп, у(г) е К?, г е Ег+

Уз (г) = аз\\ ^, 3 = 1,т-

О(х,г) = Ту(г) = д(х),

где гк = ехр(-Ак) > 0 - экспоненциальные множители Лагранжа.

Наряду с ДСЭО общего вида (1.1) будем рассматривать, следуя классификации, приведенной в .

ДСЭО с сепарабельным потоком:

(1-5) ^ = I (х) + Ву(г),

где В (п х т)-матрица;

ДСЭО с мультипликативным потоком:

(1.6) ^ = х ® (а - х ® Шу(г)), аЬ

где Ш - (п х т)-матрица с неотрицательными элементами, а - вектор с положительными компонентами, ® - знак покоординатного умножения.

Задача данной работы состоит в исследовании существования, единственности и локализации сингулярных точек ДСЭО и их устойчивости.

2. Сингулярные точки

2.1. Существование

Рассмотрим систему (1.4). Сингулярные точки этой динамической системы определяются следующими уравнениями:

(2.1) С^(х,у(г))=0, г = ТП;

(2.2) уз (г) = а^ г^, 3 = Т^:

(2.3) вк (г) = ^ аз г^ = дк (х), к =1,г.

Рассмотрим вначале вспомогательную систему уравнений:

(2.4) С(д,г) = г, д е Я,

где множество Я определено равенством (1.3) и С(д,г) - вектор-функция с компонентами

(2.5) Ск(д,г) = - Ок(г), а- < дк < а+, к =1,г.

Уравнение (2.4) имеет единственное решение г* при каждом фиксированном векторе д, что следует из свойств Вд-энтропийного оператора (см. ).

Из определения компонент вектор-функции С(д,г) имеет место очевидная оценка:

(2.6) С(а+,г) < С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Обозначим решение первого уравнения через г+ и второго - через г-. Определим

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

и r-мерные векторы

(2.9) z {zmax, zmax}, z {zmin , zmin}.

Лемма 2.1. Для всех q G Q (1 . 3) решения z*(q) уравнения (2.4) принадлежат, вектор 1 юму отрезку

zmin < z*(q) < zmax,

где векторы zmin и zmax определяются выражениями (2.7)-(2.9).

Доказательство теоремы приведено в Приложении. Qq

ций qk(x) (1.3) для x G Rn, то имеет место

Следствие 2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.1 и функции qk(x) удовлетворяют условиям (1.3) для вс ex x G Rn. Тогда для в сех x G Rm решен ия z* уравнения (2.3) принадлежат векторному отрезку

zmin < z* < zmax

Вернемся теперь к уравнениям (2.2). которые определяют компоненты вектор-функции y(z). Элементы ее якобиана имеют вид

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

для всех z G R+ за исключением 0 и ж. Следовательно, вектор-функция y(z) строго монотонно-возрастающая. Согласно лемме 2.1 она ограничена снизу и сверху, т.е. для всех z G Rr (следовательно, для всех x G Rn) ее значения принадлежат множеству

(2.11) Y = {у: у- < y < y+},

где компоненты векторов yk, y+ определяются выражениями:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Рассмотрим первое уравнение в (2.1) и перепишем его в виде:

(2.14) L(x,y) = 0 для всех у е Y С Е^.

Это уравнение определяет зависимость переменной x от переменной у, принадле-Y

мы (1.4) сводится к существованию неявной функции x(y), определяемой уравнением (2.14).

Лемма 2.2. Пусть выполняются следующие условия:

а) вектор-функция L(x,y) непрерывна по совокупности переменных;

б) lim L(x, у) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

в) det J (x, у) = 0 для вс ex x е Еп для любого фиксиров анн ого у е Y.

Тогда существует единственная неявная функция x*(у), определенная на Y. В этой лемме J(x, у) - якобиан с элементами

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Доказательство приведено в Приложении. Из приведенных лемм следует

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия лемм 2.1 и 2.2. Тогда существует единственная сингулярная точка ДСЭО (1.4) и, соответственно, (1.1).

2.2. Локализация

Под исследованием локализации сингулярной точки понимается возможность установления интервала, в котором она находится. Задача эта весьма не простая, но для некоторого класса ДСЭО такой интервал можно установить.

Обратимся к первой группе уравнений в (2.1) и представим их в виде

(2.16) L(x,y)=0, у- й у й у+,

где у- и у+ определяются равенствами (2.12), (2.13).

Теорема 2.2. Пусть вектор-функция L(x,y) непрерывно дифференцируема и монотонно-возрастающая по обеим переменным, т.е.

-- > 0, -- > 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Тогда решение системы (2.16) по переменной x принадлежит интервалу (2.17) xmin й x й xmax,

а) векторы xmin, xmax имеют вид

Min = i x 1 xmax = r x т;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax} :

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- и x+ - компоненты решении следующих уравнений

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

с oo m в етственно.

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

3. Устойчивость ДСЭО "в малом"

3.1. ДСЭО с сепарабельпым потоком Обратимся к уравнениям ДСЭО с сепарабельпым потоком, представив их в виде:

- = /(х) + Бу(г(х)), х е Кп аЬ

У- (г(Х)) = азП (Х)У33 , 3 = 1,"~ 8 = 1

0(х, г(х)) = Ту(г(х)) = д(х), г е Нг,.

Здесь значения компонент вектор-функции д(х) принадлежат множеству Q (1.3), (п х ш)-матрица Б имеет полный ранг, равный п (п < ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Пусть рассматриваемая система имеет сингулярную точку ж. Для исследования устойчивости этой сингулярной точки!"в малом" построим линеаризованную систему

где А - (п х п)-матрица, элементы которой вычислены в точке ж, и вектор £ = х - ж. Согласно первому уравнению в (3.1) матрица линеаризованной системы имеет

А = 7 (х) + БУг (ж)Их(х), х = г(х),

| 3 = 1,ш,к = 1,

I к = 1,г, I = 1,п

Из (3.1) определяются элементы матрицы Уг: ду.

"Ькз П " 8=1

3 , г8 х8 , 5 1,г.

Для определения элементов матрицы Zx обратимся к последней группе уравнений в (3.1). В показано, что данные уравнения определяют неявную вектор-функцию г(х), которая непрерывно-дифференцируема, если вектор-функция д(х) непрерывно дифференцируема. Якобиан Zx вектор-функции г(х) определяется уравнением

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

вг (Х) = Т Уг (X),

ддк, -т- , -" -- к = 1,г, I = 1,п дх\

Из этого уравнения имеем (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).

Подставляя этот результат в равенство (3.3). получим:

А = 1 (х) + Р (х), Р (х) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).

Таким образом, уравнение линеаризованной системы приобретает вид

(з.и) | = (j+р)е

Здесь элементы матриц J, Р вычислены в сингулярной точке. Достаточные условия устойчивости "в малом" ДСЭО (3.1) определяет следующая

Теорема 3.1. ДСЭО (3.1) имеет устойчивую "в малом" сингулярную точку x, если выполняются следующие условия:

а) матрицы J, Р (3.10) линеаршованной системы (3.11) имеют вещественные и различные собственные числа, причем матрица J имеет максимальное собственное число

Птах = max Пг > 0,

Wmax = max Ui < 0;

Umax + Птах <

Из этой теоремы и равенства (3.10) следует, что для сингулярных точек, для которых Qx(x) = 0 и (или) для X, = 0 щи tkj ^ 1 для всex k,j достаточные условия теоремы не выполняются.

3.2. ДСЭО с мультипликативным потоком Рассмотрим урвиения (1.6). представив их в виде:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x е Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ЗЛ2) yj (z(x)) = a^ <~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z е R++.

системы. Будем иметь:

(3.13) А = ^ [см] - 2ХШУх (г^х(х).

В этом выражении diag С] - диагональныя матрица с положительными элементами а1,..., ап, Уг, Zx - матрицы, определенные равенствами (3.4)-(3.7).

Представим матрицу A в виде

(3.14) A = diag+P (x),

(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).

Обозначим: maxi ai = nmax и wmax - максимадьное собственное число матрицы P(x) (3.15). Тогда теорема 3.1 справедлива и для ДСЭО (1.6). (3.12).

4. Устойчивость ДСЭО "в большом"

Обратимся к уравнениям ДЭСО (1.4), в которых значения компонент вектор-функции q(x) принадлежат множеству Q (1.3). В рассматриваемой системе существует сингулярная точка Z, которой соответствуют векторы z(x) = z ^ z- > 0 и

y(x) = y(z) = у > у- > 0.

Введем векторы отклонений £, C, П от сингулярной точки: (4.1) £ = x - x, (= у - у, п = z - z.

ЖЕЖЕРУН А.А., ПОКРОВСКИЙ А.В. - 2009 г.

Транскрипт

1 Качественный анализ динамических систем Построение фазовых портретов ДС

2 Динамическая система 2 Динамическая система математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим и др. системам, эволюция во времени, которых на любом интервале времени однозначно определяется начальным состоянием. Таким математическим объектом может быть система автономных дифференциальных уравнений. Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы. Дифференциальные уравнения решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциальных уравнений на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных уравнений.

3 3 Ответ на вопрос о том, какие режимы поведения могут устанавливаться в данной системе, можно получить из так называемого фазового портрета системы совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых переменных (фазовом пространстве). Среди этих траекторий имеется некоторое число основных, которые и определяют качественные свойства системы. К ним относятся прежде всего точки равновесия, отвечающие стационарным режимам системы, и замкнутые траектории (предельные циклы), отвечающие режимам периодических колебаний. Будет ли режим устойчив или нет, можно судить по поведению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притягивает все близкие траектории, неустойчивое отталкивает хотя бы некоторые из них. Таким образом, «фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» динамической системы, она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях.» (А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний)

4 Часть 1 Качественный анализ линейных динамических систем

5 5 Линейная автономная динамическая система Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами: (1) dx ax by, dt dy cx dy. dt Координатную плоскость xoy называют ее фазовой плоскостью. Через любую точку плоскости проходит одна и только одна фазовая кривая (траектория). В системе (1) возможны три типа фазовых траекторий: точка, замкнутая кривая, незамкнутая кривая. Точка на фазовой плоскости соответствует стационарному решению (положению равновесия, точке покоя) системы (1), замкнутая кривая периодическому решению, а незамкнутая непериодическому.

6 Положения равновесия ДС 6 Положения равновесия системы (1) найдем, решая систему: (2) ax by 0, cx dy 0. Система (1) имеет единственное нулевое положение равновесия, если определитель матрицы системы: det a b A ad cb 0. c d Если же det A = 0, то, кроме нулевого положения равновесия, есть и другие, так как в этом случае система (2) имеет бесконечное множество решений. Качественное поведение фазовых траекторий (тип положения равновесия) определяется собственными числами матрицы системы.

7 Классификация точек покоя 7 Собственные числа матрицы системы найдем, решая уравнение: (3) 2 λ (a d)λ ad bc 0. Заметим, что a + d = tr A (след матрицы) и ad bc = det A. Классификация точек покоя в случае, когда det A 0, приведена в таблице: Корни уравнения (3) 1, 2 - вещественные, одного знака (1 2 > 0) 1, 2 - вещественные, разного знака (1 2 < 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр

8 Устойчивость точек покоя 8 Собственные значения матрицы системы (1) однозначно определяют характер устойчивости положений равновесия: Условие на вещественную часть корней уравнения (3) 1. Если вещественные части всех корней уравнения (3) отрицательны, то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива. 2. Если вещественная часть хотя бы одного корня уравнения (3) положительна, то точка покоя системы (1) неустойчива. Тип точки и характер устойчивости Устойчивый узел, устойчивый фокус Седло, Неустойчивый узел, Неустойчивый фокус 3. Если уравнение (3) имеет чисто мнимые корни, то точка покоя системы (1) устойчива, но не асимптотически. Центр

9 Фазовые портреты 9 Устойчивый узел 1 2, 1 < 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >

10 Фазовые портреты 10 Устойчивый фокус 1,2 = i, < 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, > 0, 0 Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

11 Фазовые портреты 11 Седло 1 2, 1 < 0, 2 > 0 Центр 1,2 = i, 0 Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

12 Фазовые портреты 12 Дикритический узел имеет место для систем вида: dx ax, dt dy ay, dt когда a 0. При этом 1 = 2 = a. Неустойчивый дикритический узел Если a < 0, то узел асимптотически устойчив, если a > 0, то неустойчив. Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

13 Фазовые портреты 13 Вырожденный узел, если 1 = 2 0 и в системе (1) b 2 + c 2 0. Если 1 < 0, то устойчивый Если 1 > 0, то неустойчивый Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

14 Бесконечное множество точек покоя 14 Если det A = 0, то система (1) имеет бесконечное множество положений равновесия. При этом возможны три случая: Корни уравнения (3) 1 1 = 0, = 2 = = 2 = 0 Определение точек покоя Система (2) равносильна одному уравнению вида x + y = 0 Система (2) равносильна числовому равенству 0 = 0 Система (2) равносильна уравнению x + y = 0 Геометрическое место точек покоя Прямая на фазовой плоскости: x + y = 0 Вся фазовая плоскость Прямая x + y = 0 Во втором случае любая точка покоя устойчива по Ляпунову. В первом же случае только, если 2 < 0.

15 Фазовые портреты 15 Прямая устойчивых точек покоя 1 = 0, 2 < 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 > 0 Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

16 Фазовые портреты 16 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 2 = 0 Фазовые прямые будут параллельны прямой точек покоя (x + y = 0), если первый интеграл уравнения dy cx dy dx ax by имеет вид x + y = C, где C произвольная постоянная. Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

17 Правила определения типа точки покоя 17 Можно определить тип точки покоя и характер ее устойчивости, не находя собственных значений матрицы системы (1), а зная только ее след tr A и определитель det A. Определитель матрицы det A < 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A > 0 tr A < 0 tr A > 0 tr A < 0 tr A = 0 tr A > 0 Тип точки покоя Cедло Устойчивый узел (УУ) Неустойчивый узел (НУ) Дикритический или вырожденный УУ Дикритический или вырожденный НУ Устойчивый фокус (УФ) Центр Неустойчивый фокус (НФ)

18 Центр Бифуркационная диаграмма 18 det A det tra A 2 2 УУ УФ НФ НУ tr A С е д л о

19 19 Алгоритм построения фазового портрета ЛДС (1) 1. Определить положения равновесия, решив систему уравнений: ax by 0, cx dy Найти собственные значения матрицы системы, решив характеристическое уравнение: 2 λ (a d)λ ad bc Определить тип точки покоя и сделать вывод об устойчивости. 4. Найти уравнения главных изоклин горизонтальной и вертикальной, и построить их на фазовой плоскости. 5. Если положение равновесия является седлом или узлом, найти те фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. 6. Нарисовать фазовые траектории. 7. Определить направление движения по фазовым траекториям, указав его стрелками на фазовом портрете.

20 Главные изоклины 20 Вертикальная изоклина (ВИ) совокупность точек фазовой плоскости, в которых касательная, проведенная к фазовой траектории, параллельна вертикальной оси. Так как в этих точках фазовых траекторий x (t) = 0, то для ЛДС (1) уравнение ВИ имеет вид: ax + by = 0. Горизонтальная изоклина (ГИ) совокупность точек фазовой плоскости, в которых касательная к фазовой траектории параллельна горизонтальной оси. Так как в этих точках фазовых траекторий y (t) = 0, то для ЛДС (1) уравнение ГИ имеет вид: cx + dy = 0. Заметим, что точка покоя на фазовой плоскости это пересечение главных изоклин. Вертикальную изоклину на фазовой плоскости будем помечать вертикальными штрихами, а горизонтальную горизонтальными.

21 Фазовые траектории 21 Если положение равновесия является седлом или узлом, то существуют фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Уравнения таких прямых можно искать в виде* y = k x. Подставляя y = k x в уравнение: dy cx dy, dx ax by для определения k получим: (4) c kd () 0. a bk 2 k bk a d k c Дадим описание фазовых траекторий в зависимости от количества и кратности корней уравнения (4). * Уравнения прямых, содержащих фазовые траектории, можно искать и в виде x = k y. ak b ck d Тогда для нахождения коэффициентов следует решить уравнение k.

22 Фазовые траектории 22 Корни уравнения (4) k 1 k 2 Тип точки покоя Седло Узел Описание фазовых траекторий Прямые y = k 1 x и y = k 2 x называют сепаратрисами. Остальные фазовые траектории это гиперболы, для которых найденные прямые являются асимптотами Прямые y = k 1 x и y = k 2 x. Остальные фазовые траектории образуют параболы, которые касаются в начале координат одной из найденных прямых. Фазовые траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине (корень уравнения (3))

23 Фазовые траектории 23 Корни уравнения (4) k 1 k 2! k 1 Тип точки покоя Вырожденный узел Седло Узел Описание фазовых траекторий Прямая y = k 1 x. Остальные фазовые траектории это ветви парабол, которые касаются в начале координат этой прямой Прямые* y = k 1 x и x = 0 это сепаратрисы. Остальные фазовые траектории гиперболы, для которых найденные прямые являются асимптотами Прямые* y = k 1 x и x = 0. Остальные фазовые траектории образуют параболы, которые касаются в начале координат одной из найденных прямых. * Если уравнения прямых ищутся в виде x = k y, тогда это будут прямые x = k 1 y и y = 0.

24 Фазовые траектории 24 Корни уравнения (4) kr Тип точки покоя Дикритический узел Описание фазовых траекторий Все фазовые траектории лежат на прямых y = k x, kr. Если положение равновесия является центром, то фазовые траектории являются эллипсами. Если положение равновесия является фокусом, то фазовые траектории являются спиралями. В случае, когда ЛДС имеет прямую точек покоя, то можно найти уравнения всех фазовых траекторий, решив уравнение: dy cx dy dx ax by Его первый интеграл x + y = C и определяет семейство фазовых прямых.

25 Направление движения 25 Если положение равновесия является узлом или фокусом, то направление движения по фазовым траекториям определяется однозначно его устойчивостью (к началу координат) или неустойчивостью (от начала координат). Правда, в случае фокуса требуется установить еще и направление закручивания (раскручивания) спирали по часовой или против часовой стрелки. Это можно сделать, например, так. Определить знак производной y (t) в точках оси x. dy Когда cx 0, если x 0, то ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении «положительного луча оси x» возрастает. Значит, «закручивание (раскручивание)» траекторий происходит против часовой стрелки. Когда dt dy dt y0 y0 cx 0, если x 0, то «закручивание (раскручивание)» траекторий происходит по часовой стрелке.

26 Направление движения 26 Если положение равновесия является центром, то направление движения по фазовым траекториям (по часовой стрелке или против) можно определить так же, как устанавливается направление «закручивания (раскручивания)» траектории в случае фокуса. В случае «седла» движение по одной из его сепаратрис происходит в направлении начала координат, по другой от начала координат. По всем остальным фазовым траекториям движение происходит в соответствии с движением по сепаратрисам. Следовательно, если положение равновесия седло, то достаточно установить направление движения по какой-нибудь траектории. И далее можно однозначно установить направление движения по всем остальным траекториям.

27 Направление движения (седло) 27 Чтобы установить направление движения по фазовым траекториям в случае седла, можно воспользоваться одним из следующих способов: 1 способ Определить, какая из двух сепаратрис соответствует отрицательному собственному значению. Движение по ней происходит к точке покоя. 2 способ Определить, как изменяется абсцисса движущейся точки по любой из сепаратрис. Например, для y = k 1 x имеем: dx (abk1) t ax bk1x (a bk1) x, x(t) x(0) e. dt yk x 1 Если x(t) при t+, то движение по сепаратрисе y = k 1 x происходит к точке покоя. Если x(t) при t+, то движение происходит от точки покоя.

28 Направление движения (седло) 28 3 способ Если ось x не является сепаратрисой, определить как изменяется ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении оси x. Когда dy dt y0 cx 0, если x 0, то ордината точки возрастает и, значит, движение по фазовым траекториям, пересекающим положительную часть оси x, происходит снизу вверх. Если же ордината убывает, то движение будет происходить сверху вниз. Если определять направление движение по фазовой траектории, пересекающей ось y, то лучше анализировать изменение абсциссы движущейся точки.

29 Направление движения 29 4 способ* Построить в произвольной точке (x 0,y 0) фазовой плоскости (отличной от положения равновесия) вектор скорости: dx dy v, (ax0 by0, cx0 dy0). dt dt (x, y) 0 0 Его направление и укажет направление движения по фазовой траектории, проходящей через точку (x 0,y 0) : (x 0, y 0) v * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

30 Направление движения 30 5 способ* Определить области «знакопостоянства» производных: dx dt dy ax by, cx dy. dt Границами этих областей будут главные изоклины. Знак производной укажет на то, как изменяется ордината и абсцисса движущейся точки по фазовой траектории в различных областях. y y x (t)<0, y (t)>0 x (t)<0, y (t)<0 x x x (t)>0, y (t)>0 x (t)>0, y (t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

31 Пример dx dt dy dt 2x 2 y, x 2y 1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = Построив соответствующее характеристическое уравнение 2 6 = 0, найдем его корни 1,2 6. Следовательно, положение равновесия седло. 3. Сепаратрисы седла ищем в виде y = kx. 4. Вертикальная изоклина: x + y = 0. Горизонтальная изоклина: x 2y = 0. Корни вещественные и разного знака. 1 2k 2 6 k k k k k k 2 2k ,2, 1 2, 22, 2 0, 22.

32 Пример 1 (седло) 32 Нарисуем на фазовой плоскости сепаратрисы y = k 1 x и y = k 2 x и главные изоклины. y x Остальную часть плоскости заполняют траектории - гиперболы, для которых сепаратрисы являются асимптотами.

33 Пример 1 (седло) 33 y x Найдем направление движения по траекториям. Для этого можно определить знак производной y (t) в точках оси x. При y = 0 имеем: dy dt y0 x 0, если x 0. Таким образом, ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении «положительного луча оси x» убывает. Значит, движение по фазовым траекториям, пересекающим положительную часть оси x, происходит сверху вниз.

34 Пример 1 (седло) 34 Теперь легко установить направление движения по другим траекториям. y x

35 Пример dx 4x2 y, dt dy x3y dt 1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = Построив соответствующее характеристическое уравнение = 0, найдем его корни 1 = 2, 2 = 5. Следовательно, положение равновесия неустойчивый узел. 3. Прямые: y = kx. 1 3k 1 k k k k k 4 2k , Вертикальная изоклина: 2x + y = 0. Горизонтальная изоклина: x + 3y = 0.

36 Пример 2 (неустойчивый узел) 36 y x Так как 1 = 2 является меньшим по абсолютной величине, то, найдя соответствующий ему собственный вектор = (a 1,a 2) т: 4 2 a1 a1 2 a1 a2 0, 1 3 a a 2 2 = (1,1) т, установим, что остальные фазовые траектории, образующие параболы, касаются в начале координат прямой y = x. Неустойчивость положения равновесия однозначно определяет направление движения от точки покоя.

37 Пример 2 (неустойчивый узел) 37 Так как 1 = 2 является меньшим по абсолютной величине, то, найдя соответствующий ему собственный вектор = (a 1,a 2) т: 4 2 a1 a1 2 a1 a2 0, 1 3 a a 2 2 = (1,1) т, установим, что остальные фазовые траектории, образующие параболы, касаются в начале координат прямой y = x. Неустойчивость положения равновесия однозначно определяет направление движения от точки покоя. y x

38 Пример dx x 4 y, dt dy 4x2y dt 1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = Построив соответствующее характеристическое уравнение = 0, найдем его дискриминант D. Так как D < 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

39 Пример 3 (устойчивый фокус) 39 Определим знак производной y (t) в точках оси x. При y = 0 имеем: dy 4x 0, если x 0. dt y0 y Таким образом, ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении «положительного луча оси x» возрастает. Значит, «закручивание» траекторий происходит против часовой стрелки. x

40 Пример dx x4 y, dt dy x y dt 1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = Построив соответствующее характеристическое уравнение 2 3 = 0, найдем его корни 1,2 = i3. Следовательно, положение равновесия центр. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: x y 0. Фазовые траектории системы эллипсы. Направление движения по ним можно установить, например, так.

41 Пример 4 (центр) 41 Определим знак производной y (t) в точках оси x. При y = 0 имеем: dy dt y0 x 0, если x 0. y Таким образом, ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении «положительного луча оси x» возрастает. Значит, движение по эллипсам происходит против часовой стрелки. x

42 Пример 5 (вырожденный узел) 42 dx x y, dt dy x3y dt 1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = Построив соответствующее характеристическое уравнение = 0, найдем его корни 1 = 2 = 2. Следовательно, положение равновесия устойчивый вырожденный узел. 3. Прямая: y = kx. 13k k 2 k k k k1,2 4. Вертикальная изоклина: x + y = 0. Горизонтальная изоклина: x 3y = 0.

43 Пример 5 (вырожденный узел) 43 y x Нарисуем на фазовой плоскости изоклины и прямую, содержащую фазовые траектории. Остальная часть плоскости заполняется траекториями, которые лежат на ветвях парабол, касающихся прямой y = x.

44 Пример 5 (вырожденный узел) 44 Устойчивость положения равновесия однозначно определяет направление движения к началу координат. y x

45 Пример dx 4x 2 y, dt dy 2x y dt Так как определитель матрицы системы det A = 0, то система имеет бесконечно много положений равновесия. Все они лежат на прямой y 2 x. Построив соответствующее характеристическое уравнение 2 5 = 0, найдем его корни 1 = 0, 2 = 5. Следовательно, все положения равновесия устойчивы по Ляпунову. Построим уравнения остальных фазовых траекторий: dy 2x y dy 1 1, =, y x C. dx 4x 2y dx Таким образом, фазовые траектории лежат на прямых y x C, C const. 2

46 Пример Направление движения однозначно определяется устойчивостью точек прямой y 2 x. y x

47 Пример dx 2 x y, dt dy 4x2y dt Так как определитель матрицы системы det A = 0, то система имеет бесконечно много положений равновесия. Все они лежат на прямой y 2 x. Так как и след матрицы системы tr A, то корни характеристического уравнения 1 = 2 = 0. Следовательно, все положения равновесия неустойчивы. Построим уравнения остальных фазовых траекторий: dy 4x 2 y dy, 2, y 2 x C. dx 2x y dx Таким образом, фазовые траектории лежат на прямых y 2 x C, C const, и параллельны прямой точек покоя. Установим направление движения по траекториям следующим образом.

48 Пример Определим знак производной y (t) в точках оси x. При y = 0 имеем: dy 0, если x 0, 4 x dt y0 0, если x 0. Таким образом, ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении «положительного луча оси x» возрастает, а «отрицательного» убывает. Значит движение по фазовым траекториям правее прямой точек покоя будет снизу вверх, а левее сверху вниз. y x

49 Упражнения 49 Упражнение 1. Для заданных систем определите тип и характер устойчивости положения равновесия. Постройте фазовые портреты. 1. dx 3, 3. dx 2 5, 5. dx x y x y 2 x y, dt dt dt dy dy dy 6x 5 y; 2x 2 y; 4x 2 y; dt dt dt 2. dx, 4. dx 3, 6. dx x x y 2x 2 y, dt dt dt dy dy dy 2 x y; x y; x y. dt dt dt Упражнение 2. При каких значениях параметра a R система dx dy 2 ax y, ay 2ax dt dt имеет положение равновесия и оно является седлом? узлом? фокусом? Какой при этом система имеет фазовый портрет?

50 Неоднородные ЛДС 50 Рассмотрим линейную неоднородную систему (НЛДС) с постоянными коэффициентами: dx ax by, (5) dt dy cx dy, dt когда 2 2. Решив систему уравнений: ax by, cx dy, ответим на вопрос, имеет ли система (5) положения равновесия. Если det A 0, то система имеет единственное положение равновесия P(x 0,y 0). Если det A 0, то система, либо имеет бесконечно много положений равновесия точки прямой, определяемой уравнением ax + by + = 0 (или cx + dy + = 0), либо вообще не имеет положений равновесия.

51 Преобразование НЛДС 51 Если система (5) имеет положения равновесия, то выполнив замену переменных: xx0, y y0, где, в случае, когда система (5) имеет бесконечно много положений равновесия, x 0, y 0 координаты любой точки, принадлежащей прямой точек покоя, получим однородную систему: d a b, (6) dt d c d. dt Введя на фазовой плоскости x0y новую систему координат с центром в точке покоя P, построим в ней фазовой портрет системы (6). В результате на плоскости x0y получим фазовый портрет системы (5).

52 Пример dx 2x 2y12, dt dy x 2y 3 dt Так как 2x 2y 12 0, x 3, x 2y 3 0 y 3, то ДС имеет единственное положение равновесия P(3;3). Выполнив замену переменных x = + 3, y = + 3, получим систему: d 2 2, dt d 2, dt нулевое положение которой неустойчиво и является седлом (см. пример 1).

53 Пример Построив фазовый портрет на плоскости P, совместим ее с фазовой плоскостью x0y, зная, какие координаты имеет в ней точка P. y P x

54 Фазовые портреты НЛДС 54 При построении фазовых портретов в случае, когда система (5) не имеет положений равновесия, можно использовать следующие рекомендации: 1. Найти первый интеграл уравнения dx dy, ax by cx dy и таким образом определить семейство всех фазовых траекторий. 2. Найти главные изоклины: ax by 0 (ВИ), cx dy 0 (ГИ). 3. Найти прямые, содержащие фазовые траектории, в виде у = kx +. При этом для нахождения коэффициентов k и, учитывая, что c: a d: b, построить уравнение: dy (ax by) k. dx y kx ax by (a kb) x b y kx

55 Фазовые портреты НЛДС 55 Так как выражение (a kb) x b не зависит от x, если a + kb = 0, то получим следующие условия для нахождения k и: a kb 0, k. b Уравнение прямой можно искать и в виде x = ky +. Условия для определения k и строятся аналогично. Если существует только одна прямая, то она является асимптотой для остальных траекторий. 2. Для определения направления движения по фазовым траекториям определить области «знакопостоянства» правых частей системы (5). 3. Для определения характера выпуклости (вогнутости) фазовых траекторий построить производную y (x) и установить области ее «знакопостоянства». Различные приемы построения фазовых портретов рассмотрим на примерах.

56 Пример dx dt dy dt 0, 1. y Решив уравнение: dx dy 0 0, 1 получим, что все фазовые траектории лежат на прямых x C, C R. Так как y (t) = 1 > 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории возрастает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит снизу вверх. x

57 Пример dx dt dy dt 2, 2. y Решив уравнение: dy dx 2 1, 2 получим, что все фазовые траектории лежат на прямых y x + C, C R. Так как y (t) < 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x

58 Пример dx 1, dt dy x 1. dt Решив уравнение: dy x 1, dx 2 (x 1) y C, C R, 2 получим, что фазовыми траекториями системы являются параболы: оси которых лежат на горизонтальной изоклине x 1 0, а ветви направлены вверх. Так как x (t) 1 > 0, то абсцисса движущейся точки по любой фазовой траектории возрастает. Следовательно, движение по левой ветви параболы происходит сверху вниз до пересечения с прямой горизонтальной изоклиной, а далее снизу вверх.

59 Пример y Определить направление движения по фазовым траекториям можно было бы и установив области «знакопостоянства» правых частей системы. y 1 x x"(t) > 0, y"(t) < 0 x"(t) > 0, y"(t) > 0 x 1

60 Пример dx y, dt dy y 1. dt Вертикальная изоклина y = 0; горизонтальная изоклина y 1= 0. Выясним, существуют ли прямые, которые содержат фазовые траектории. Уравнения таких прямых будем искать в виде y = kx + b. Так как k dy y , dx y y kx b ykxb ykxb ykxb то последнее выражение не зависит от x, если k = 0. Тогда для нахождения b получим b 1. b Таким образом, на прямой y = 1 лежат фазовые траектории. Эта прямая является асимптотой на фазовой плоскости.

61 Пример Установим, какой характер выпуклости (вогнутости) имеют фазовые траектории относительно оси x. Для этого найдем производную y (x): y (x) > 0 y 1 1 "() 1 1, dx dx y dx y y y 2 d y d y d y x y и определим области «знакопостоянства» полученного выражения. В тех областях, где y (x) > < 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) > 0 x

62 Пример Выясним направления движения по фазовым траекториям, определив области «знакопостоянства» правых частей системы dx y, dt dy y 1. dt Границами этих областей будут вертикальная и горизонтальная изоклины. Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y x (t) > 0, y (t) > 0 y (x) > 0 x (t) > 0, y (t) < 0, y (x) < 0 x (t) > 0, y (t) < 0 y (x) > 0 x

63 Пример x (t) > 0, y (t) > 0 y (x) > 0 y y x (t) > 0, y (t) < 0, y (x) < 0 x x x (t) > 0, y (t) < 0 y (x) > 0

64 Пример dx 2, dt dy 2 x y. dt Горизонтальная изоклина: 2x y = 0. Выясним, существуют ли прямые, которые содержат фазовые траектории. Уравнения таких прямых будем искать в виде y = kx + b. Так как dy 2 x y (2 k) x b k, 2 2 dx y kx b y kx b то последнее выражение не зависит от x, если k = 2. Тогда для нахождения b получим b 2 b 4. 2 Таким образом, на прямой y = 2x 4 лежат фазовые траектории. Эта прямая является асимптотой на фазовой плоскости.

65 Пример Установим, какой характер выпуклости (вогнутости) имеют фазовые траектории относительно оси x. Для этого найдем производную y (x): 2 d y d x y y x x y y x dx "() dx Определим области «знакопостоянства» полученного выражения. В тех областях, где y (x) > 0, фазовые траектории имеют выпуклость «вниз», а где y (x) < 0, выпуклость «вверх». y (x) > 0 y x y (x) < 0

66 Пример Выясним направление движения по фазовым траекториям, определив области «знакопостоянства» правых частей системы: dx 2, dt dy 2 x y. dt Границей этих областей будет горизонтальная изоклина. x (t)>0, y (t)<0 y x (t)>0, y (t)>0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета.

67 Пример y (x) > 0 y x y y (x) < 0 x x (t)>0, y (t)<0 y x x (t)>0, y (t)>0

68 Пример dx x y, dt dy 2(x y) 2. dt Вертикальная изоклина: x y = 0; горизонтальная изоклина: x y + 1= 0. Выясним, существуют ли прямые, которые содержат фазовые траектории. Уравнения таких прямых будем искать в виде y = kx + b. Так как dy 2(x y) k 2 2, dx x y x y (1 k) x b ykxb ykxb ykxb то последнее выражение не зависит от x, если k = 1. Тогда для нахождения b получим b 2. b Таким образом, на прямой y = x +2 лежат фазовые траектории. Эта прямая является асимптотой на фазовой плоскости.

69 Пример Определим, как изменяются абсцисса и ордината движущейся точки по фазовой траектории. Для этого построим области «знакопостоянства» правых частей системы. y x (t)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)>0, y (t)>0 Эта информация потребуется для определения направления движения по траекториям.

70 Пример Установим, какой характер выпуклости (вогнутости) имеют фазовые траектории относительно оси x. Для этого найдем производную y (x): 2(x y) () 2 2("() 1) x y 2(2) dx dx x y (x y) (x y) (x y) 2 d y d x y y x x y Определим области «знакопостоянства» полученного выражения. В тех областях, где y (x) > 0, фазовые траектории имеют выпуклость «вниз», а где y (x) < 0, выпуклость «вверх». y (x)> 0 y y (x)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0

71 Пример 14 (ФП) 71 y y x y x x

72 Упражнения 72 Постройте фазовые портреты для следующих систем: dx 3x 3, dt dy 2x y1; dt dx x, dt dy 2x 4; dt dx x y 2, dt dy 2x 2y1; dt dx 1, dt dy 2 x y; dt dx dt dy dt dx dt dy dt 2, 4; y 2, 2.

73 Литература 73 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: Высш. шк., 2001.

4.03.07 Занятия 4. Существование и устойчивость положений равновесия линейных динамических (ЛДС) систем на плоскости. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые портреты ЛДС (x, yr, ar):

Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 005..04.09 Занятие 7 Модель «хищник-жертва» Лотки-Вольтерры 86 (построение

РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 5. ТОЧКИ ПОКОЯ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов высшей математики

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кольцов С.Н. www.linis.ru Метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Стр. Лекция 3 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ Если некоторое явление описывается системой ДУ dx dt i = f (t, x, x...x), i =..nс начальными i n условиями x i (t 0) = x i0, i =..n, которые обычно являются

4.04.7 Занятие 7. Устойчивость положений равновесия автономных систем (метод линеаризации Ляпунова, теорема Ляпунова) x " (f (x, y), f, g C (). y"(g(x, y), D Поиск положений равновесия P (x*, : f

СЕМИНАРЫ 5 И 6 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Изоклины. Построение фазовых портретов. Кинетические кривые. Знакомство с программой TRAX. Фазовой

Лекция 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными

СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет» Кафедра

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано

СЕМИНАР 7 Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости)

Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем. План ответа Определение особой точки типа центр. Определение особой точки

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

1 ЛЕКЦИЯ 2 Системы нелинейных дифференциальных уравнений. Пространство состояний или фазовое пространство. Особые точки и их классификация. Условия устойчивости. Узел, фокус, седло, центр, предельный цикл.

7 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Автономной системой для функций (t) (t) называется система дифференциальных уравнений d d P() Q() (7) dt dt где правые части не зависят

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x, f n x C 1

Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Построение интегральных кривых и фазового портрета автономного уравнения Имея график гладкой функции f(u), можно схематично построить интегральные кривые уравнения du dt = f(u). (1) Построение опирается

7.0.07 Занятие. Динамические системы с непрерывным временем на прямой. Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы: d dt Решение уравнения f (, 5 5,

Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении

Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Семинар 5 Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерры. В общем виде модели, описываемые системами

Семинар Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности

Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

7..5,..5 Занятие,. Дискретные динамические системы на прямой Задача Провести исследование динамики плотности популяции (t), описываемой уравнением: t t, const. t Существуют ли среди решений уравнения

Исследование функции и построение её графика Пункты Исследования: 1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции. 2) Асимптоты графика функции. 3) Нули функции, интервалы

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,

Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F(x, y, y) 0, где

Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие.) Решить уравнение или неравенство с

Лекция 3. Фазовые потоки на плоскости 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость.

Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

5. Устойчивость аттракторов 1 5. Устойчивость аттракторов В прошлом разделе мы научились находить неподвижные точки динамических систем. Также мы выяснили, что существует несколько различных типов неподвижных

4 февраля 9 г Практическое занятие Простейшие задачи управления динамикой популяций Задача Пусть свободное развитие популяции описывается моделью Мальтуса N N где N численность или объем биомассы популяции

1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Семинар 9 Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния системы двух уравнений реакция диффузия Неустойчивость Тьюринга Активатор и ингибитор Условия возникновения диссипативных структур

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра высшей математики физического факультета Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Лекция 1 Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы 1. Основные понятия. Консервативной системой с одной степенью свободы мы будем называть систему, описываемую дифференциальным

ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 8 степень со знаком +, из полученного следует, что () π возрастает от до π. Итак, слагаемые ϕ i() и k () +, т. е. вектор (i) ϕ монотонно ϕ монотонно возрастают при

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА.. Постановка задачи. Рассмотрим автономное уравнение вида = f. () Как известно, это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. 2 семестр Занятие. Модель «Хищник-жертва» Лотки-Вольтерры Тема 5.2.

Геометрический смысл производной, касательная 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Значение

Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

19.11.15 Занятие 16. Базовая модель «брюсселятор» До начала 70-х гг. большинство химиков считало, что химические реакции не могут идти в колебательном режиме. Экспериментальные исследования советских ученых

Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром) Теоретический материал Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается

Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

УТВЕРЖДЕНО Проректор по учебной работе и довузовской подготовке А. А. Воронов 09 января 2018 г. ПРОГРАММА по дисциплине: Динамические системы по направлению подготовки: 03.03.01 «Прикладные математика

Введение 4

Априорный анализ динамических систем 5

Прохождение случайного сигнала через линейную систему 5

Эволюция фазового вектора системы 7

Эволюция ковариационной матрицы фазового вектора системы 8

Статистическая линеаризация 8

Первый способ 9

Второй способ 10

Вычисление коэффициентов линеаризации 10

Неоднозначность в нелинейных звеньях 14

Нелинейное звено, охваченное обратной связью 15

Моделирование случайных процессов 16

Формирующий фильтр 16

Моделирование белого шума 17

Оценивание статистических характеристик динамических систем методом Монте-Карло 18

Точность оценок 18

Нестационарные динамические системы 20

Стационарные динамические системы 21

Апостериорный анализ динамических систем 22

Фильтр Калмана 22

Модель движения 22

Модель измерений 23

Коррекция 23

Прогноз 23

Оценивание 23

Использование калмановской фильтрации в нелинейных задачах 25

Метод наименьших квадратов 27

Построение оценок 27

Прогноз 29

Использование метода наименьших квадратов в нелинейных задачах 29

Построение матрицы Коши 30

Моделирование измерений 30

Численные методы 31

Специальные функции 31

Моделирование случайных величин 31

Равномерно распределенные случайные величины 31

Гауссовские случайные величины 32

Случайные векторы 33

Интеграл вероятностей 34

Полиномы Чебышева 36

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 36

Методы Рунге-Кутты 36

Точность результатов численного интегрирования 37

Вложенный метод Дормана-Принса 5(4) порядка 37

Многошаговые методы 39

Методы Адамса 39

Интегрирование уравнений с запаздывающим аргументом 40

Сравнение вычислительных качеств методов 40

Задача Аренсторфа 40

Эллиптические функции Якоби 41

Задача двух тел 41

Уравнение Ван-дер-Поля 42

«Брюсселятор» 42

Уравнение Лагранжа для висячей струны 42

«Плеяды» 42

Оформление пояснительной записки 43

Титульный лист 43

Раздел «Введение» 44

Раздел «Теория» 44

Раздел «Алгоритм» 44

Раздел «Программа» 45

Раздел «Результаты» 45

Раздел «Выводы» 45

Раздел «Список использованных источников» 45

Приложения 45

Литература 47

Введение

В настоящем учебном пособии содержатся методические указания к выполнению заданий курсовых проектов и к проведению практических занятий по курсу «Основы статистической динамики».

Целью курсового проектирования и практических занятий является овладение студентами технологией априорного и апостериорного анализа нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений.

Априорный анализ динамических систем

Статистическая линеаризация

Статистическая линеаризация позволяет преобразовать исходную нелинейную динамическую систему т.о., чтобы для ее анализа удалось воспользоваться методами, алгоритмами, соотношениями, справедливыми для линейных систем.

Настоящий раздел посвящен изложению метода статистической линеаризации, основывающемуся на наиболее простом приближенном подходе, предложенным проф. И.Е. Казаковым, позволяющем, тем не менее, построить оценки точности системы, содержащей даже существенные нелинейности с разрывными характеристиками.

Статистическая линеаризация состоит в замене исходной безынерционной нелинейной зависимости между входным и выходным процессами такой приближенной зависимостью , линейной относительно центрированного входного случайного процесса , которая является эквивалентной в статистическом смысле по отношению к исходной:

Звено, обладающее такой приближенной зависимостью между входным и выходным сигналами, называется эквивалентным рассматриваемому нелинейному звену .

Величина выбирается исходя из условия равенства математических ожиданий нелинейного и линеаризованного сигналов и носит название статистической средней характеристики эквивалентного звена:

,

где – плотность распределения входного сигнала .

Для нелинейных звеньев с нечетными характеристиками, т.е. при , статистическую характеристику удобно представить в виде:

– математическое ожидание входного сигнала ;
– статистический коэффициент усиления эквивалентного звена по средней составляющей .

Т.о. эквивалентная зависимость в данном случае приобретает вид:

Характеристику называют статистическим коэффициентом усиления эквивалентного звена по случайной составляющей (флуктуациям) и определяют двумя способами.

Первый способ

В соответствии с первым способом статистической линеаризации коэффициент выбирается исходя из условия равенства дисперсий исходного и эквивалентного сигналов. Т.о. для вычисления получим следующее соотношение:

,

где – дисперсия входного случайного воздействия.

Знак в выражении для определяется характером зависимости в окрестности значения аргумента . Если возрастает, то , а если убывает, то .

Второй способ

Значение по второму способу выбирается из условия минимизации средней квадратической ошибки линеаризации:

Окончательное соотношение для вычисления коэффициента по второму способу имеет вид:

.

В заключение заметим, что ни один их двух, рассмотренных выше, способов линеаризации не обеспечивает равенства корреляционных функций выходных сигналов нелинейного и эквивалентного звеньев. Расчеты показывают, что для корреляционной функции нелинейного сигнала первый способ выбора дает оценку сверху, а второй способ – оценку снизу, т.е. ошибки в определении корреляционной функции нелинейного выходного сигнала имеют разные знаки. Проф. И.Е. Казаков, автор, изложенного здесь метода, рекомендует выбирать в качестве результирующего коэффициента линеаризации полусумму коэффициентов , полученных по первому и второму способам.

Формирующий фильтр

Как правило, параметры определяется путем приравнивания коэффициентов полиномов числителя и знаменателя в уравнении

при одинаковых степенях .

После определения передаточной функции формирующего фильтра результирующая схема моделирования случайного процесса выглядит, как показано на рисунке.

Например, спектральная плотность процесса , подлежащего моделированию имеет вид:

,

математическое ожидание , а для моделирования используется белый шум с интенсивностью , следовательно, обладающий единичной спектральной плотностью.

Очевидно, что числитель и знаменатель искомой передаточной функций должны иметь порядки 1 и 2 (в самом деле, будучи возведенной в квадрат по модулю передаточная функция образует частное полиномов 2-й и 4-й степеней)

Т.о. передаточная функция формирующего фильтра в наиболее общем виде выглядит следующим образом:

,

а квадрат ее модуля:

Приравняем полученные соотношения:

Вынесем за скобку и в правой части равенства, приравнивая тем самым коэффициенты при нулевых степенях :

,

откуда с очевидностью вытекают следующие равенства:

; ; ; .

Т.о. структурная схема формирования случайного процесса с заданными статистическими характеристиками из белого шума с единичной спектральной плотностью выглядит, как показано на рисунке, с учетом рассчитанных значений параметров формирующего фильтра.

Моделирование белого шума

Для моделирования случайного процесса с заданными статистическими характеристиками в качестве входного случайного процесса в формирующий фильтр используется белый шум. Однако, точное моделирование белого шума нереализуемо из-за бесконечной дисперсии этого случайного процесса.

По этой причине, в качестве замены белому шуму, воздействующему на динамическую систему, используется случайный ступенчатый процесс. Интервал, на котором реализация случайного процесса сохраняет свое значение неизменной (ширина ступеньки, интервал корреляции), – величина постоянная. Сами значения реализации (высоты ступенек) – случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. Значения параметров процесса – интервал корреляции и дисперсия – определяются характеристиками динамической системы, на которую оказывает воздействие белый шум.

Идея метода основывается на ограниченности полосы пропускания любой реальной динамической системы. Т.е. коэффициент усиления реальной динамической системы уменьшается по мере увеличения частоты входного сигнала, а, следовательно, существует такая частота (меньше бесконечной), для которой коэффициент усиления системы столь мал, что можно положить его нулевым. А это, в свою очередь, означает, что входной сигнал с постоянной, но ограниченной этой частотой, спектральной плотностью, для такой системы будет эквивалентен белому шуму (с постоянной и бесконечной спектральной плотностью).

Параметры эквивалентного случайного процесса – интервал корреляции и дисперсия вычисляются следующим образом:

где – эмпирически определяемая граница полосы пропускания динамической системы.

Точность оценок

Оценки математического ожидания

и дисперсии

случайной величины , построенные на основе обработки ограниченной выборки ее реализаций , , сами являются случайными величинами.

Очевидно, что чем больше размер выборки реализаций, тем точнее несмещенная оценка, тем ближе она к истинному значению оцениваемого параметра. Ниже приведены приближенные формулы, основывающиеся на предположении об их нормальном распределении. Симметричный относительно доверительный интервал для оценки , соответствующий доверительной вероятности , определяется величиной , для которой справедливо соотношение:

,

где
– истинное значение математического ожидания случайной величины ,
– среднеквадратическое отклонение случайной величины ,
– интеграл вероятностей.

На основе приведенного выше соотношения величина может быть определена следующим образом:

,

где – функция, обратная по отношению к интегралу вероятностей .

Поскольку характеристика рассеивания оценки нам в точности не известна, воспользуемся ее ориентировочным значением, вычисленным с использованием оценки :

Т.о. окончательное соотношение, связывающие точность оценки математического ожидания и размера выборки, по которой производится оценивание, выглядит следующим образом:

.

Это означает, что величина доверительного интервала (при неизменном значении доверительной вероятности ), расположенного симметрично относительно , выраженная в долях оценки среднеквадратического отклонения , обратно пропорциональна квадратному корню из размера выборки .

Доверительный интервал для оценки дисперсии определяется аналогичным образом:

с точностью до величины , которая за неимением более точной информации может быть приблизительно определена из соотношения:

Т.о. величина доверительного интервала (при неизменном значении доверительной вероятности ), расположенного симметрично относительно , выраженная в ее долях, обратно пропорциональна квадратному корню из величины , где – размер выборки.

Более точные формулы для построения доверительных интервалов оценок могут быть получены с использованием точных сведений о законе распределения случайной величины .

Например, для гауссовского закона распределения случайная величина

подчиняется закону распределения Стъюдента с степенью свободы, а случайная величина

распределена по закону также с степенью свободы.

Фильтр Калмана

Модель движения

Как известно, Фильтр Калмана предназначен для оценивания вектора состояния линейной динамической системы, модель эволюции которого может быть записана в виде:

где
– матрица Коши, определяющая изменение вектора состояния системы в ее собственном движении (без управляющих и шумовых воздействий) от момента времени к моменту времени ;
– вектор вынуждающих неслучайных воздействий на систему (например, управляющих воздействий) в момент времени ;
– матрица влияния вынуждающих воздействий в момент времени на вектор состояния системы в момент времени ;
– вектор случайных независимых центрированных воздействий на систему в момент времени ;
– матрица влияния случайных воздействий в момент времени на вектор состояния системы в момент времени .

Модель измерений

Оценивание выполняется на основе статистической обработки результатов измерений , линейно связанных с вектором состояния , и искаженных аддитивной несмещенной ошибкой :

где – матрица, связывающая векторы состояния и измерений в один и тот же момент времени .

Коррекция

Основу Фильтра Калмана составляют соотношения коррекции, являющиеся результатом минимизации следа ковариационной матрицы апостериорной плотности распределения линейной (по вектору измерений ) оценки вектора состояния системы :

Прогноз

Дополняя соотношения коррекции соотношениями прогноза, основанными на линейных свойствах модели эволюции системы:

где – ковариационная матрица вектора , получим формулы рекуррентного байесовского алгоритма оценивания вектора состояния системы и его ковариационной матрицы на основе статистической обработки результатов измерений .

Оценивание

Очевидно, для реализации приведенных соотношений необходимо уметь строить матрицы , из модели эволюции, матрицу из модели измерений, а также ковариационные матрицы и для каждого -го момента времени.

Кроме того, для инициализации вычислительного процесса необходимо каким-либо образом определить апостериорные , или априорные , оценки вектора состояния и его ковариационной матрицы. Термин «априорные» или «апостериорные» в данном случае означает лишь то качество, в котором вектор состояния и его ковариационная матрица будут использованы в вычислительном алгоритме, и не говорит ничего о том, каким образом они были получены.

Таким образом, выбор соотношения, с которого следует начинать вычисления, определяется тем, к каким моментам времени отнесены начальные условия фильтрации и и первый необработанный вектор измерений . Если моменты времени совпадают, то первым следует применить соотношения коррекции, позволяющие уточнить начальные условия, если нет, то сначала следует спрогнозировать начальные условия к моменту привязки первого необработанного вектора измерений.

Поясним алгоритм калмановской фильтрации при помощи рисунка.

На рисунке в осях координат , (в канале движения) изображены несколько возможных траекторий фазового вектора :

– истинная траектория эволюции фазового вектора;
– эволюция фазового вектора, прогнозируемая на основе использования модели движения и априорной оценки фазового вектора , отнесенной к моменту времени ;
– эволюция фазового вектора, прогнозируемая на основе использования модели движения и апостериорной (более точной) оценки фазового вектора , отнесенной к моменту времени

В осях координат , (в канале измерений) в моменты времени и изображены результаты измерений и :

,

где
– истинное значение вектора измерений в момент времени ;
– вектор ошибок измерений, реализовавшихся в момент времени .

Для построения поправки к априорному фазовому вектору системы используется разность между результатом измерения и тем значением, которое было бы измерено согласно модели измерений задачи, если бы фазовый вектор, в самом деле, принял значение . В результате применения к априорным оценкам соотношений коррекции оценка фазового вектора системы несколько уточнится и примет значение , что позволит более точно (по крайней мере, в окрестности момента времени ) прогнозировать поведение фазового вектора исследуемой динамической системы с помощью модели движения задачи.

В момент времени в качестве априорной оценки используется результат прогноза на траектории проходящей через фазовый вектор , снова строится разность измерений по которой вычисляется апостериорное, еще более точное значение и т.д. до тех пор, пока есть векторы измерений для обработки или есть необходимость прогнозировать поведение фазового вектора.

Метод наименьших квадратов

В настоящем разделе представлен метод наименьших квадратов, адаптированный для апостериорного анализа динамических систем.

Построение оценок

Для случая линейной модели равноточных измерений:

имеем следующий алгоритм оценивания фазового вектора:

.

Для случая неравноточных измерений вводится в рассмотрение матрица , содержащая на диагонали весовые коэффициенты. С учетом весовых коэффициентов предыдущее соотношение примет вид:

.

Если в качестве весовой использовать матрицу, обратную к ковариационной матрице ошибок измерений , то с учетом того обстоятельства, что получим:

.

Как следует из приведенных выше соотношений, основу метода составляет матрица , связывающая оцениваемый фазовый вектор , отнесенный к некоторому моменту времени , и вектор измерений . Вектор имеет, как правило, блочную структуру, в которой каждый из блоков отнесен к некоторому моменту времени , не совпадающую в общем случае с .

На рисунке показано некоторое возможное взаимное расположение моментов времени, к которым отнесены измерения и момента времени, к которому отнесен вектор оцениваемых параметров.

Для каждого вектора справедливо следующее соотношение:

, при .

Таким образом, в результирующем соотношении метода наименьших квадратов вектор и матрица имеют следующую структуру:

; .

где
– определяет неслучайное вынуждающее воздействие на систему;
– определяет случайное воздействие на систему.

могут быть использованы соотношения прогноза, встречавшиеся выше при описании алгоритма калмановской фильтрации:

где – ковариационная матрица вектора .

Построение матрицы Коши

В задачах построения оценок методами статистической обработки измерений часто встречается задача построения матрицы Коши. Эта матрица связывает фазовые векторы системы, отнесенные к разным моментам времени, в собственном движении.

Ограничимся в настоящем разделе рассмотрением вопросов, связанных с построением матрицы Коши для модели эволюции, записанной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (линейных или нелинейных).

где использованы следующие обозначения для матриц пропорциональности, построенных в окрестности опорной траектории , :

; .

Моделирование измерений

Проблема возникает в случае, когда, например, оценивая потенциально достижимую точность метода в некоторой задаче, Вы не располагаете какими-либо результатами измерениями. В этом случае результаты измерений требуется смоделировать. Особенность моделирования результатов измерений состоит в том, что модели движения и измерений, используемые для этой цели могут не совпадать с теми моделями, которые Вы будете использовать в ходе построения оценок с использованием того или иного метода фильтрации.

В качестве начальных условий для моделирования эволюции фазового вектора динамической системы должны использоваться истинные значения координат этого вектора. Кроме этого места истинные значения координат фазового вектора системы не должны использоваться более нигде.

Численные методы

Специальные функции

Случайные векторы

Проблема, решение которой описано в настоящем подразделе, состоит в моделировании вектора коррелированных между собой гауссовских случайных величин.

Пусть случайный вектор , подлежащий моделированию, формируется на основе преобразования вектора стандартных некоррелированных случайных величин соответствующей размерности следующим образом: с точностью до 4 знаков основывается на разложении в ряды по степеням аргумента для трех его интервалов.

При сумма асимптотического ряда становится практически равной 1.

1

Целью исследования является разработка ориентированного на применение суперкомпьютеров логического метода (метода булевых ограничений) и сервис-ориентированной технологии создания и применения компьютерной системы для качественного исследования динамики поведения траекторий автономных двоичных динамических систем на конечном интервале времени. Актуальность темы подтверждается непрерывно возрастающим спектром приложений двоичных моделей в научных и прикладных исследованиях, а также необходимостью качественного анализа таких моделей с большой размерностью вектора состояний. Приведена математическая модель автономной двоичной системы на конечном интервале времени и эквивалентное этой системе булево уравнение. Спецификацию динамического свойства предлагается записывать на языке логики предикатов с использованием ограниченных кванторов существования и всеобщности. Получены булевы уравнения поиска равновесных состояний и циклов двоичной системы и условия их изолированности. Специфицированы основные свойства типа достижимости (достижимость, безопасность, одновременная достижимость, достижимость при фазовых ограничениях, притяжение, связность, тотальная достижимость). Для каждого свойства построена его модель в виде булевого ограничения (булева уравнения или квантифицированной булевой формулы), удовлетворяющая логической спецификации свойства и уравнениям динамики системы. Таким образом, проверка выполнимости разнообразных свойств поведения траекторий автономных двоичных динамических систем на конечном интервале времени сведена к задаче выполнимости булевых ограничений с использованием современных SAT и TQBF решателей. Приведен демонстрационный пример использования этой технологии для проверки выполнимости некоторых из приведенных ранее свойств. В заключении перечислены основные достоинства метода булевых ограничений, особенности его программной реализации в рамках сервис-ориентированного подхода и обозначены направления дальнейшего развития метода для других классов двоичных динамических систем.

двоичная динамическая система

динамическое свойство

качественный анализ

булевы ограничения

задача булевой выполнимости

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Theory and Practice of SAT Solving. Dagstuhl Reports. 2015. vol. 5. no. 4. Р. 98–122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Twelve Years of QBF Evaluations: QSAT Is PSPACE-Hard and It Shows. Fundam. Inform. 2016. vol. 149. Р. 133–58.

3. Бохман Д., Постхоф Х. Двоичные динамические системы. М.: Энергоатомиздат, 1986. 400 с.

4. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применение. М.: Радио и связь, 1986. 133 с.

5. Jhala R., Majumdar R. Software model checking. ACM Computing Surveys. 2009. vol. 41. no. 4. Р. 21:1–21:54.

6. Васильев С.Н. Метод редукции и качественный анализ динамических систем. I–II // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. № 1. С. 21–29. № 2. С. 5–17.

7. DIMACS format [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (дата обращения: 24.07.2018).

8. QDIMACS standard [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://qbflib.org/qdimacs.html (дата обращения: 24.07.2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Discrete Time Systems with Event-Based Dynamics: Recent Developments in Analysis and Synthesis Methods. Mario Alberto Jordan (Ed.). Discrete Time Systems. InTech. 2011. Р. 447–476.

10. Васильев С.Н. Достижимость и связность в автоматной сети с общим правилом переключения состояний // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 11. С. 1533–1539.

11. Бычков И.В., Опарин Г.А., Богданова В.Г., Горский С.А., Пашинин А.А. Мультиагентная технология автоматизации параллельного решения булевых уравнений в распределенной вычислительной среде // Вычислительные технологии. 2016. Т. 21. № 3. С. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. A Dependency-Aware QBF solver. Journal on Satisfiability. Boolean Modeling and Computation. 2010. vol. 9. Р. 71–76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Distributed Solvers of Applied Problems Based on Microservices and Agent Networks. Proc. Of the 41th Intern. Convention on Information and Communication Technology, Electronics and Microelectronics (MIPRO-2018). Р. 1643–1648.

14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Scalable Parallel Solver of Boolean Satisfiability Problems. Proc. Of the 41th Intern. Convention on Information and Communication Technology. Electronics and Microelectronics (MIPRO-2018). Р. 244–249.

15. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. The Applied Problems Solving Technology Based on Distributed Computational Subject Domain Model: a Decentralized Approach // Параллельные вычислительные технологии XII международная конференция, ПаВТ’2018, г. Ростов-на-Дону, 2–6 апреля 2018 г. Короткие статьи и описания плакатов. Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2018. C. 34–48.

Спектр приложений двоичных динамических моделей необычайно широк и с каждым годом количество объектов и задач, где требуется их использование, только возрастает. Классическим примером является двоичный синхронный автомат, являющийся моделью многих дискретных устройств в системах управления, вычислительной технике, телемеханике. К современным приложениям двоичных динамических моделей относятся задачи биоинформатики, экономики, социологии и ряда других, казалось бы далеких от применения двузначных переменных, областей. В связи с этим в существенной степени повышается актуальность разработки новых и совершенствование существующих методов качественного анализа поведения траекторий двоичных динамических систем (ДДС).

Как известно, целью качественного анализа динамической системы (не только двоичной) является получение положительного или отрицательного ответа на вопрос: Выполняется ли в заданной системе требуемое динамическое свойство? Перефразируем этот вопрос следующим образом: Удовлетворяет ли поведение траекторий динамической системы некоторой совокупности ограничений, характеризующих свойство? Далее будем использовать именно эту трактовку цели качественного анализа динамических свойств системы.

Для ДДС, функционирование которых рассматривается на конечном интервале времени, такие ограничения являются булевыми и записываются на языке булевых уравнений или булевых формул с кванторами. Первый тип ограничений приводит к необходимости решения SAT-задачи (задачи булевой выполнимости ); второй тип ограничений связан с решением задачи TQBF (проверки истинности квантифицированных булевых формул ). Первая задача является типичным представителем класса сложности NP, а вторая задача - класса сложности PSPACE. Как известно, PSPACE-полнота дискретной задачи дает более сильное свидетельство о ее труднорешаемости, чем NP-полнота. В силу этого сведение задачи качественного анализа ДДС к SAT-задаче более предпочтительно, чем сведение к задаче TQBF. В общем случае исследование не каждого свойства ДДС можно представить на языке булевых уравнений.

Теоретическая возможность использования булевых ограничений (а именно, булевых уравнений) в качественном анализе ДДС впервые была продемонстрирована в работе . Следует, однако, отметить, что применение этого подхода на практике в то время сдерживалось отсутствием эффективных алгоритмов и программ решения булевых уравнений (особенно с большим числом неизвестных переменных), позволяющих в существенной степени сократить пространство поиска. В последнее десятилетие в результате интенсивных исследований в этой области появилось достаточное количество разнообразных эффективных решателей булевых уравнений (SAT-решателей), использующих современные достижения (новые эвристики, быстрые структуры данных, параллельные вычисления и др.) в решении задачи булевой выполнимости. Аналогичные процессы (но с некоторым запаздыванием) наблюдаются и в области создания все более эффективных алгоритмов и программ решения задачи TQBF. Таким образом, к настоящему времени имеются все необходимые предпосылки систематического развития метода булевых ограничений в качественном анализе ДДС, его программной реализации и применении в решении научных и прикладных задач.

Кроме метода булевых ограничений, к ДДС применимы и другие методы качественного анализа, к которым относятся дедуктивный анализ, model checking и метод редукции. Каждый из этих методов (включая и метод булевых ограничений) имеет свои ограничения, преимущества и недостатки. Общим недостатком является то, что все методы носят переборный характер и проблема сокращения перебора является фундаментальной для этих методов.

Важность дедуктивного анализа , подразумевающего применение аксиом и правил вывода для доказательства правильности функционирования системы, признается широким кругом специалистов, но это трудоемкий и поэтому редко применяемый метод. В методе model checking в качестве языка спецификации требуемого свойства используется язык темпоральных логик, который непривычен для специалистов по автоматной динамике. Метод редукции связан с построением упрощенной (в определенном смысле) модели исходной системы, исследовании ее свойств и условий переносимости этих свойств в исходную сложную систему. Условия переносимости свойств носят при этом только достаточный характер. Простота идеи метода редукции в качественном анализе ДДС сталкивается с проблемой выбора упрощенной системы, удовлетворяющей всем условиям метода.

Практическое использование метода булевых ограничений предполагает алгоритмизацию и автоматизацию следующих процессов:

1) разработка ориентированного на специалиста по динамике систем логического языка спецификации динамических свойств;

2) построение модели динамического свойства в виде булевого ограничения того или иного типа, удовлетворяющей логической спецификации свойства и уравнениям динамики двоичной системы;

3) представление полученной модели в международном формате DIMACS или QDIMACS ;

4) выбор (разработка) эффективного параллельного (распределенного) решателя задачи выполнимости булевых ограничений (SAT или TQBF решателя);

5) разработка инструментальных средств создания программных сервисов;

6) разработка сервисов для качественного исследования разнообразных динамических свойств ДДС.

Целью настоящего исследования является решение только первых двух задач применительно к алгоритмизации качественных исследований автономных (без управляющих входов) синхронных ДДС. Такие системы в англоязычных публикациях принято называть синхронными булевыми сетями (Boolean network). Другие аспекты применения метода булевых ограничений (в том числе и для ДДС с управляющими входами) являются предметом следующих публикаций.

Математическая модель автономной ДДС

Пусть X = Bn (B = {0, 1} - множество двоичных векторов размерности n (пространство состояний ДДС). Через t∈T = {1,…,k} обозначим дискретное время (номер такта).

Для каждого состояния x0∈X, называемого начальным состоянием, определим траекторию x(t, x0) как конечную последовательность состояний x0, x1,…, xk из множества X. Далее будем рассматривать ДДС, в которых каждая пара смежных состояний xt, x(t - 1) (t∈T) траектории связана отношением

xt = F(xt - 1). (1)

Здесь F:X>X - векторная функция алгебры логики, называемая функцией переходов. Таким образом, для любых x0∈X система булевых уравнений (1) представляет модель динамики поведения траекторий ДДС в пространстве состояний X на конечном интервале времени T = {1, 2,…,k}. Здесь и далее величина k в определении множества T предполагается наперед заданной постоянной. Такое ограничение является вполне естественным. Дело в том, что при качественном анализе поведения траекторий ДДС практический интерес представляет вопрос о том, что можно сказать о выполнимости какого-либо динамического свойства при фиксированном, не слишком большом k. Выбор величины k в каждом конкретном случае осуществляется исходя из априорных сведений о длительности протекания процессов в моделируемой дискретной системе.

Известно , что система булевых уравнений (1) с начальным состоянием x0∈X для T = {1, 2,…,k} эквивалентна одному булевому уравнению вида

При k = 1 (рассматриваются только одношаговые переходы) уравнение (2) приобретает вид

(3)

Решения этого уравнения определяют направленный граф, состоящий из 2n вершин, отмеченных одним из 2n состояний множества X. Вершины x0 и x1 графа соединены дугой, направленной от состояния x0 к состоянию x1. Такой граф в теории двоичных автоматов называется диаграммой переходов. Представление поведения ДДС в виде диаграммы переходов весьма наглядно как при построении траекторий, так и исследовании их свойств, но практически реализуемо лишь для небольших размерностей n вектора состояния x∈X.

Языковые средства спецификации динамических свойств

Наиболее удобно задавать спецификацию динамического свойства на языке формальной логики. Следуя работе , обозначим через X0∈X, X1∈X, X*∈X - множества начальных, допустимых и целевых состояний.

Основными синтаксическими элементами логической формулы динамического свойства являются: 1) предметные переменные (компоненты векторов x0, x1,…, xk, время t); 2) ограниченные кванторы существования и всеобщности; 3) логические связки v, &; заключительные формулы. Заключительная формула представляет утверждение о принадлежности некоторых состояний множества траекторий x(t, x0) (x0∈X0) оценочным множествам X* и X1.

Следует отметить, что использование ограниченных кванторов существования и всеобщности обеспечивает привычный для специалиста по динамике вид записи динамического свойства. В процессе построения булевой модели свойства для системы (1) ограниченные кванторы заменяются на обычные согласно следующим определениям:

где A(y) - предикат, ограничивающий значение переменной y.

В силу конечности области изменения переменной t, ограниченные кванторы существования и всеобщности по этой переменной заменяются на равносильные формулы, не содержащие кванторов

В дальнейшем будем предполагать, что элементы множеств X0, X1, X* определяются соответственно нулями следующих булевых уравнений

или характеристическими функциями этих множеств , .

С учетом ограничения на начальные состояния G0(x) = 0 наряду с уравнениями (2, 3) для сокращения записи будем использовать следующие булевы уравнения:

(4)

Предварительный качественный анализ автономных ДДС

На этапе предварительного анализа может быть выявлено (при необходимости) ветвление состояния (множество его непосредственных предшественников), наличие равновесных состояний и замкнутых траекторий (циклов).

Состояние x1 в (3) будем называть последователем состояния x0, а x0 - предшественником состояния x1. В автономной ДДС каждое состояние имеет только одного последователя, а число предшественников данного состояния может изменяться от нуля до 2n - 1. Все непосредственные предшественники x0 состояния s∈X являются нулями булева уравнения

Если уравнение (6) не имеет решений, то предшественники состояния s отсутствуют.

Равновесные состояния (если они существуют) являются решениями булева уравнения

Траектория x0, x1,…, xk называется циклом длины k, если состояния x0, x1,…, xk-1 попарно отличны друг от друга и xk = x0. Циклическая последовательность длины k (если она существует) является решением булева уравнения

где = 0 () - условия попарного различия множества состояний C цикла длины k. Если ни одно из состояний цикла не имеет предшественников, не принадлежащих множеству C, то такой цикл называется изолированным. Пусть элементы s множества C определяются решением булева уравнения Gc(s) = 0. Тогда несложно показать, что условие изолированности цикла эквивалентно отсутствию нулей у следующего булева уравнения:

Решения уравнения (7) (если они существуют) определяют состояния цикла, имеющие предшественников, не принадлежащих множеству C.

Так как равновесное состояние является циклом длины k = 1, то условие его изолированности аналогично условию изолированности с k ≥ 2 за тем отличием, что Gc(s) имеет вид полной дизъюнкции, определяющей это равновесное состояние.

Неизолированные равновесные состояния и циклы в дальнейшем будем называть аттракторами.

Спецификация динамических свойств типа достижимости

Основным свойством ДДС, необходимость в проверке которого наиболее часто возникает на практике, является традиционно изучаемое в теории графов (в нашем случае таким графом является диаграмма переходов) свойство достижимости и его различные вариации. В достижимость определяется как классическая задача анализа поведения траекторий ДДС.

Определение этого свойства связано с заданием введенных ранее множеств X0, X*, X1 (соответствующих этим множествам булевых уравнений). Предполагается, что для множеств X0, X*, X1 выполняется ограничение

В силу конечности множества T свойство достижимости и его вариации далее будем понимать как свойство практической достижимости (достижимости за конечное число тактов). Рассматриваются следующие свойства типа достижимости:

1. Основное свойство достижимости множества X* из множества X0 формулируется следующим образом: любая траектория, выпущенная из множества начальных состояний X0, достигает целевого множества X*. С использованием ограниченных кванторов существования и всеобщности, формула этого свойства имеет вид:

2. Свойство безопасности обеспечивает для любой траектории, выпущенной из X0, недостижимость множества X*:

3. Свойство одновременной достижимости. В ряде случаев может выставляться более «жесткое требование», которое состоит в том, чтобы каждая траектория достигала целевого множества ровно за k тактов (k∈T):

4. Свойство достижимости при фазовых ограничениях:

Это свойство гарантирует, что все траектории, выпускаемые из множества X0, до момента попадания в целевое множество X* находятся в множестве X1.

5. Свойство притяжения. Пусть X* является аттрактором. Тогда логическая формула свойства притяжения совпадает с формулой основного свойства достижимости:

т.е. для каждой траектории, выпущенной из множества X0, существует момент времени t∈T, начиная с которого траектория не выходит за пределы множества X*. Множество X0 в этом случае принадлежит части области притяжения множества X*(X0∈Xa, где Xа - полная область притяжения (бассейн) аттрактора).

Отметим, что все переменные в приведенных формулах свойств являются фактически связанными, так как траектория x0, x1,…, xk полностью определяется начальным состоянием. Так как кванторы по переменной t заменяются на операции многоместной дизъюнкции или конъюнкции соответствующих предикатов, в каждой из формул остается единственный ограниченный квантор всеобщности (), что позволяет записать условия выполнимости этих свойств на языке булевых уравнений (в виде SAT-задачи).

Приведем два свойства, проверка которых приводит к необходимости решения задачи TQBF.

6. Свойство связности целевого множества:

т.е. существует начальное состояние x0∈X0 такое, что каждое целевое состояние x*⊆X* в некоторый момент t∈T достижимо, что означает существование соответствующей этому состоянию траектории, такой, что все целевые состояния x*∈X* принадлежат данной траектории.

7. Свойство тотальной достижимости множества X* из X0:

т.е. каждое целевое состояние является достижимым из X0.

Проверка выполнимости динамических свойств

Для свойств (1-5) проверка их выполнимости сводится к поиску нулей булева уравнения, технология формирования которого носит стандартизованный характер и подробно рассматривается только для основного свойства достижимости. Свойства (6, 7) приводят к задаче проверки истинности квантифицированной булевой формулы.

1. Основное свойство достижимости. Его логическая формула имеет вид

С учетом (4) запишем формулу (8) в виде

где - характеристическая функция множества состояний траектории, выпущенной из начального состояния x0∈X0. Избавимся от квантора существования в (9). Тогда будем иметь

где - характеристическая функция множества X*. Заменим ограниченные кванторы всеобщности на обычные кванторы. В результате получим

Формула (10) истинна тогда и только тогда, когда тождественно истинно подкванторное выражение, т.е.

Тождественная истинность импликации означает, что булева функция является логическим следствием функции , т.е. любая траектория с начальным состоянием x0∈X0 достигает целевого множества X*.

Выполнимость тождества (11) эквивалентна отсутствию нулей у булева уравнения

При получении (12) мы избавились от импликации и заменили ϕ*(x0, x1,..., xk) на . Если уравнение (12) имеет хотя бы одно решение, то свойство достижимости не имеет места. Такое решение представляет (в определенном смысле) контрпример для проверяемого свойства и может помочь исследователю выявить причину возникновения ошибки.

Далее для краткости изложения для каждого свойства (2-4) выпишем только уравнение типа (12), предлагая читателю самостоятельно воспроизвести необходимые рассуждения, близкие к тем, которые даны для основного свойства достижимости.

2. Свойство безопасности

3. Свойство одновременной достижимости

4. Свойство достижимости при фазовых ограничениях

5. Свойство притяжения. Выполнимость этого свойства проверяется в два этапа. На первом этапе выясняется, является ли множество X* аттрактором. Если ответ положительный, то на втором этапе проверяется основное свойство достижимости. Если X* достижимо из X0, то все условия свойства притяжения выполнены.

6. Свойство связности

7. Свойство тотальной достижимости`

Для свойств (6, 7) скалярная форма равенства двух булевых векторов xt = x* имеет вид

Продемонстрируем изложенную выше технологию качественного анализа автономных ДДС с использованием метода булевых ограничений при проверке выполнимости некоторых из перечисленных выше свойств для модели 3.2 из работы :

Обозначим через x0∈X = B3 начальное состояние модели (13). Пусть T = {1, 2}. Выпишем требуемые для спецификации свойств функции одношагового и двухшагового переходов модели (13):

(14)

где знаком «.» обозначена операция конъюнкции.

Для проверки выполнимости каждого свойства задаются начальное (X0) и целевое (X*) множества, определяемые нулями уравнений G0(x) = 0, G*(x) = 0 или характеристическими функциями этих множеств (см. п. 2). В качестве SAT-решателя используется решатель инструментального комплекса (ИК) РЕБУС , а TQBF-решателя - DepQBF . Кодировка переменных в булевых моделях рассматриваемых ниже свойств для этих решателей приведена в табл. 1, булевы модели этих свойств в форматах DIMACS и QDIMACS расположены в табл. 2.

Таблица 1

Кодировка переменных

Номер переменной в булевой модели

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

Таблица 2

Булевы модели свойств

Свойство 1	Свойство 2	Свойство 3	Свойство 4 (А)	Свойство 4 (B)	Свойство 5
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Основное свойство достижимости (k = 2). Пусть X0 = {x∈X: x1 = 0}, X*={x∈X: x1 = 1}. Начальное и целевое множества определяются соответственно уравнениями G0(x) = x1 = 0 и . Булево уравнение (12) в этом случае приобретает вид

где функция ϕ(x0, x1, x2) определена в (14). Решатель ИК РЕБУС выдает ответ «unsat» (уравнение не имеет нулей), таким образом свойство достижимости X* из X0 выполняется, что наглядно видно из следующей диаграммы переходов, приведенной на рисунке.

2. Циклы длины k = 2. Циклическая последовательность длины 2 (если она существует) является решением булева уравнения

Функция имеет вид

Выражение R(x0, x1) при нахождении цикла не включалось в уравнение, так как циклы длины k = 1 (равновесные состояния) в модели (13) отсутствуют. С помощью решателя ИК РЕБУС получены два ответа (в выходном формате DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 и 1 2 -3 4 5 6 0, соответствующие циклическим последовательностям (рисунок): {(1 1 1), (1 1 0)} и {(1 1 0), (1 1 1)}. Множества состояний обоих циклов совпадают, что означает наличие в модели (13) одного цикла длины k = 2.

Диаграмма переходов системы (13)

3. Свойство изолированности цикла. Если элементы s множества состояний C цикла длины k = 2 определяются решением булева уравнения Gc(s) = 0, то условие изолированности цикла эквивалентно отсутствию нулей у следующего булева уравнения:

Так как C = {(1 1 1), (1 1 0)}, имеем

Для этого уравнения решатель ИК РЕБУС находит два решения: -1 2 3 4 5 -6 0 и -1 2 -3 4 5 -6 0 (в двоичном представлении согласно кодировке переменных в табл. 1 это пары состояний (0 1 1), (1 1 0) и {(0 1 0), (1 1 0)). Таким образом, состояние цикла (1 1 0) имеет два предшественника, (0 1 1) и (0 1 0), не принадлежащих множеству состояний цикла. Это означает, что свойство изолированности цикла не выполняется, т.е. данный цикл является аттрактором.

4. Свойство притяжения. Пусть X* = C является аттрактором. Логическая формула свойства притяжения совпадает с формулой основного свойства достижимости

а соответствующее булево уравнение для нашего случая имеет вид

Выпишем функции G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) и . Функция ϕ(x0, x1, x2) приведена в (14). Для X* = C выражение равно . Рассмотрим два варианта задания множества начальных состояний X0, для случаев выполнения (А) и невыполнения (B) свойства притяжения за k = 2 тактов.

A. Пусть . Тогда

В этом случае для булевого уравнения (15) выдается ответ «unsat». Свойство притяжения для заданного множества X0 выполняется.

B. Пусть . Тогда

В этом случае ИК РЕБУС для уравнения (15) находит решение: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, которое соответствует траектории {(1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)}. Эта траектория с начальным состоянием x0 = (1 0 1) за два такта не достигает множества X* = C, что означает невыполнимость свойства притяжения для заданного X0.

5. Свойство связности. Логическая формула свойства связности имеет вид следующего высказывания:

Для k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), где функция ϕ(x0, x1, x2) приведена в (14). В качестве начального выберем состояние (1 0 1). Тогда . Пусть целевое множество X* = {(0 1 1), (1 0 0)}. В этом случае функция G*(x*) имеет вид

Запишем G*(x*) в формате КНФ:

Используя закон Де-Моргана, найдем отрицание функции ϕ*(x0, x1, x2). Подставив в (16) все полученные функции и с учетом кодировки булевых переменных (табл. 1), получим булеву модель в формате QDIMACS (табл. 2). Решатель DepQBF выдает ответ «sat», что означает истинность высказывания (16). Свойство связности для заданных X0, X*, T = {1, 2} выполнено.

Заключение

К основным достоинствам метода булевых ограничений в качественном исследовании ДДС относятся:

1. Привычный для специалиста по автоматной динамике логический язык спецификации динамического свойства за счет использования ограниченных кванторов существования и всеобщности.

2. По формуле свойства и уравнениям динамики автоматически выполняется построение соответствующего булева уравнения или квантифицированной булевой формулы.

3. Достаточно просто автоматизируется процесс преобразования получаемых булевых выражений в конъюнктивную нормальную форму с дальнейшей генерацией файла в форматах DIMAX и QDIMAX, являющихся входными для SAT-решателей и QBF-решателей.

4. Проблема сокращения перебора в той или иной мере решается разработчиками этих решателей и экранирована от специалистов по качественному анализу ДДС.

5. Обеспечивается возможность решения задачи качественного анализа ДДС для больших размерностей вектора состояния n на достаточно продолжительном промежутке времени T. По числу состояний метод булевых ограничений количественно соизмерим с методом model checking. В силу того, что в последние годы наблюдается существенный рост производительности специализированных алгоритмов решения SAT и TQBF-задач, общее количество переменных в булевой модели свойства для современных решателей может измеряться тысячами.

Программное обеспечение процесса качественного анализа ДДС на основе метода булевых ограничений реализуется в рамках сервис-ориентированного подхода с использованием специализированных решателей булевых уравнений . В работе приведен пример реализации метода булевых ограничений на основе сервис-ориентированного подхода для поиска циклов и равновесных состояний в генных регуляторных сетях.

Следует отметить, что метод булевых ограничений является достаточно общим методом качественного анализа ДДС на конечном интервале времени. Он применим не только к автономным системам, но и к системам с управляющими входами, к системам с глубиной памяти больше единицы, к ДДС общего вида, когда функция переходов неразрешима относительно состояния xt и имеет вид F(xt, xt-1) = 0. Для ДДС со входами особое значение приобретает свойство управляемости и его различные вариации. Кроме задач анализа ДДС метод булевых ограничений применим к задачам синтеза обратной связи (статической или динамической, по состоянию или по входу), обеспечивающих в синтезируемой системе выполнение требуемого динамического свойства.

Исследование выполнено при поддержке РФФИ, проект № 18-07-00596/18.

Библиографическая ссылка

Опарин Г.А., Богданова В.Г., Пашинин А.А. МЕТОД БУЛЕВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ В КАЧЕСТВЕННОМ АНАЛИЗЕ ДВОИЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2018. – № 9. – С. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (дата обращения: 18.03.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Вам могут быть интересны следующие материалы

Мебель

Отделка

Спальня

Детская

Идеи

Обои

© 2024 Идеи дизайна квартир и домов